浅谈“等价变换”在解题中的作用.docx

浅谈“等价变换”在解题中的作用所谓等价变换是把问题A变更为与之等价的新问题B即问题A的结果与问题B的结果完全一致问题A与问题B是可以相互推导的。等价变换则是一种常见的十分重要的数学思想方法本文通过举例可看出它在解题中的地位和作用。1.同解原则在解方程（组）的过程中必须进行合理的推算、化繁为简才能得到最后的结果同解原理则是合理推算的理论根据只要每一步推算都是同解变换最后结果一定是问题的解是无须验证的。但是在解某类方程（组）时我们只要在变量的限定范围内求解所得结果无疑仍然是问题的解因为这样的推算是等价的。例：解议程组〖JB（{〗〖KF（〗x+〖SX（〗1〖〗y〖SX）〗〖KF）〗+〖KF（〗x+y-3〖KF）〗=3①2+2xy-8y+1=0②〖JB）〗解：因为中y≠0两边同除以y得y+2x-8+〖SX（〗1〖〗y〖SX）〗=0即（x+〖SX（〗1〖〗y〖SX）〗）+（x+y-3）=5令〖KF（〗x+〖SX（〗1〖〗y〖SX）〗〖KF）〗=u、〖KF（〗x+y-3〖KF）〗=v则原议程组可变为〖JB（{〗u+v=3③u2+v2=5④〖JB）〗解之得〖JB（{〗u1=2v1=1〖JB）〗〖JB（{〗u2=1v2=2〖JB）〗〖JB（{〗x+〖SX（〗1〖〗y〖SX）〗=4⑤x+y-3=4⑥〖JB）〗〖JB（{〗x+〖SX（〗1〖〗y〖SX）〗=1⑦x+y-3=4⑧〖JB）〗解：⑤、⑥得〖JB（{〗x1=3y1=1〖JB）〗〖JB（{〗x2=5y2=-1〖JB）〗解：⑦、⑧得〖JB（{〗x3=4-〖KF（〗10〖KF）〗y3=3+〖KF（〗10〖KF）〗〖JB）〗〖JB（{〗x4=4+〖KF（〗10〖KF）〗y4=3-〖KF（〗10〖KF）〗〖JB）〗故原方程组有四种解：〖JB（{〗x1=3y1=1〖JB）〗〖JB（{〗x2=5y2=-1〖JB）〗〖JB（{〗x3=4-〖KF（〗10〖KF）〗y3=3+〖KF（〗10〖KF）〗〖JB）〗〖JB（{〗x4=4+〖KF（〗10〖KF）〗y4=3-〖KF（〗10〖KF）〗〖JB）〗。此方程组无通法求解但通过现观察比较巧妙地将②式两边同除以y就得到于①式具有相同的形式再借助换元法把复杂问题简单化――化成普通常见的二元二次方程组求解。2.变换命题的结论一般地说综合题的解法是不甚明显的需要联想通过实验才能探明解题思路。而等价变换命题的结论可化繁为简、化难为易从而启发我们寻找解题思路。例2：试证没有整数a、b、c满足a2+b2-8c=6分析：已知条件抽象不便于使用通过变换命题的结论由a2+b2-8c=6变形为a2+b2=8c+6问题就转化为证明没有两个整数的平方和被8除余6根据数的整数性质问题即可得证。证明：每个整数都具有下列形式之一：4n、4n+1、4n+2、4n+3它们的平方分别是：16n2、16n2+8n+1、16n2+16n+4、16n2+24n+9它们被8除的余数是01、4而这三个数的余数的任意两数（可以相同）的和都不等于6。a2+b2≠8c+6即没有整数a、c、b满足a2+b2=8c+6成立。3.变换等价命题凡有一定难度的题目不是假设条件不明显就是条件与结论相距太远有的甚至难以理解题意。在这种情况下将原命题变换为与之等价的命题可以帮助我们寻找解题思路探索一条由假设条件通向所求结论的逻辑“通道”。例3：设a、b、c互不相等试证不论x为何实数〖SX（〗（x-b）（x-c）〖〗（a-b）（a-c）〖SX）〗+〖SX（〗（x-c）（x-a）〖〗（b-c）（b-a）〖SX）〗+〖SX（〗（x-a）（x-b）〖〗（c-a）（c-b）〖SX）〗=1恒成立。分析：若按通常证明恒等式的方法推算是比较繁的我们知道方程与函数是有密切关系的这里要证明的等式是关于x的二次方程于是可设辅助（二次）函数P（x）其图像与x轴最多只有两个交点若P（x1）=P（x2）=P（x3）=0则P（x）=0。利用此结论问题即可得证：证明：令P（x）=〖SX（〗（x-b）（x-c）〖〗（a-b）（a-c）〖SX）〗+〖SX（〗（x-c）（x-a）〖〗（b-c）（b-a）〖SX）〗+〖SX（〗（x-a）（x-b）〖〗（c-a）（c-b）〖SX）〗-1P（a）=P（b）=P（c）=0而P（x）是二次多项式它的根不多于2个故只能有P（x）=0即