浅谈旋转变换法在解题中的应用.doc

浅谈“旋转变换”法在解题中的应用惠阳区第一中学翟志强二○一一年九月浅谈“旋转变换”法在解题中的应用惠阳区第一中学翟志强“旋转变换”在平面几何解题中有着重要的应用，特别是对有关三角形、四边形等一类问题的求解，这里谈的“旋转变换”指的就是平面图形绕定点的旋转，因此，在一般情况下，其图形的形状和大小均不改变。一、以三角形为基础的图形的旋转变换例1、已知两个全等的直角三角形纸片△ABC、△DEF如图（1）放置点B，D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G，∠C=∠EFB=900，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4。（1）求证：△EGB是等腰三角形；（2）若纸片△DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形，如图（2），求此梯形的高。证明：（1）如图1，在Rt△DEF中，∵∠EFB=90°，∠E=300，∴∠EDF=60°，又∵∠ABC=30°，∴∠EBG=∠EBF－∠ABC=30°∴EG=BG图1∴△EGB是等腰三角形，解（2）30（度）。（事实上，如图2，∵∠BFD=30°，∠EDF=60°，∴∠DHC=90°=∠ACB。∴AC∥DE.又∵AC≠DE，∴四边形ACDE是梯形。）设BC与ED交于H，∵∠DFB为30°旋转角，又∵∠EDF=60°，∴∠DHF=90°，∵DF=2，图2∴FH=DFsin∠EDF=2sin60°=在Rt△ABC中，AB=4，AC=2，∴BC===2又∵BF=DF=2，∴CF=2-2∴梯形的高=2-2+=3-2例2，图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点恰好在30°的三角板，Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30°，∠E=45°，∠EDF=∠ACB=90°，DE交AC于点G，GM⊥AB于M。（1）如图③当DF经过点C时，作CN⊥于N，求证：AM=DN。（2）如图④，当△EDF经D点旋转，DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由。（1）证明：∵∠A=30°，∠ACB=90°，D是AB的中点∴BC=BD，∠B=60°∴△BCD是等边三角形。又∵CN⊥DB，∴DN=DB∵∠EDF=90°，△BCD是等边三角形∴∠ADG=30°，而∠A=30°∴GA=GD∵GM⊥AB∴AM=AD图3又∵AD=DB∴AM=DN（2）解：∵DF∥AC∴∠HDB=∠A=30°，∠AGD=∠GDH=90°，∴∠ADG=60°∵∠B=60°，AD=DB，∴△ADG≌△DBH∴AG=DH，又∵∠HDN=∠A，GM⊥AB，HN⊥AB，∴△AMG≌△DNH图4∴AM=DN。二、以四边形为基础的图形的旋转变换。例3、已知顺正方形ABCD内有△AEF，∠AEF=45°，E、F分别在BC，CD上任意滑动，如图5，求证：（1）△AEF的高AH为定值，D和B点重合时，因为∠EAF=45°，F和C重合；E和C重图5合时，F和D重合，因此，可以猜想△AEF的高AH是正方形的边长。证明：把△ABE绕A点按逆时针方向旋转90°，在正方形外的△ADG、则AE=AG，∠FAE=∠EAF=45°，所以△AEF≌△AGF，故AH=AD。例4、四边形ABCD为任意四边形，以其边四各向四边到外侧作正方形，如图6，设P、Q、R、S为四个正方形的中心，求证：①PR⊥QS，②PR=QS证明：以D为旋转中心，把△ADF按顺时方向旋转90得△EDC，则AF=EC，AFEC，连接AC，取AC中点M，连接MA、MQ、MR、MP，因为MS∥EC，MR∥AF，所以MS=MR，MS⊥MR，同理MP=MQ，MP⊥MQ。图6以M为中心，把△MPR按逆时针方向旋转90°得△MSQ，则有PR⊥QS，PR=QS。本题稍为复杂一点，要通过两次旋转变换解得。从以上数例可知，以三角形、四边形为基础的图形旋转变换，一般步骤是：（1）确定旋转中心，（2）确定旋转对象（即被变换的图形），（3）确定旋转的方向和角度（常用300、600、900等特殊角）。例5，在△ABC中，点D是AB边的中点，E，F分别是AC，BC上的点。证明：△DEF的面积不超过△ADE和△BDF的面积之和（如图7）。分析：考虑如何把△ADE和△BDF拼成一块图形，然后和△DEF的面积比较。图7证明：以D为对称中心，把△ADE旋转180变换成△BDE1，则四边形BFDE1是凸四边形，所以S△ADE+S△BDF=S△BDE+S△BDF=S四边形BFDE≥S△DEF=S△DEF（当E和A重合或F和B重合时，上式取等号）。例6，已知M是Rt△ABC斜边BC的中点，P，Q分别在AB，AC上，且PMQM，求证：PQ2=PB2+QC2（如图8）。分析：能否使PB，QC，PQ构成一个Rt△的三边是解题的关键，考虑到PM⊥QM，MA=BC