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数形结合思想在向量问题求解中的应用摘要：新人教A版教材一直坚持从数和形两个方面建构和研究向量。所以我们在研究向量问题或用向量解决问题时应树立数形结合意识充分挖掘条件的几何意义。本文举例说明了数形结合思想在求解几类向量问题时的应用。关键词：数形结合；向量；求解；应用中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2014）09-0140一、求解向量的模和角度的有关问题例1.已知向量■■夹角为45°且■=12■-■=■则■=分析：这种题目的常见做法是将2■-■=■两边平方转化为向量数量积的问题。解：如图1作■=2■■=2■∠AOB=45°则■=■■=2设■=x根据余弦定理可得■2=22+x2-2・2・x・cos45°得x=3■。例2.已知两个单位向量■■的夹角为60°■=t■+（1-t）■若■・■=0则t=分析：本题利用数量积知识能算出t的值然而利用几何法更加一目了然。解：如图2作■=■■=■■=■=t■+（1-t）■即■=t■则点ABC三点共线。因为■=■=1且夹角为60°所以OAB为正三角形所以■=1又因为■・■=0即OCOB所以在RtCOB中∠COB=60°OB=1所以BC=2那么t=2。二、求解向量最值或取值范围的问题例3.（2008.浙江）设■■是平面内两个互相垂直的单位向量若向量■满足（■-■）・（■-■）=0则■的最大值等于（）A.1B.2C.■D.■分析：该题将条件（■-■）・（■-■）=0展开利用数量积能得到答案但利用几何法更加简洁。解：如图3■=■■=■■=■■=■-■=■-■■=■-■=■-■则由题意得CACB又OAOB则点O和点C都在以AB为直径的圆上所以■max=■max=■=■故选C。例4.已知向量■=（20）■=（22）■=（■cosα■sinα）则向量■与■夹角的取值范围为（）A.[0■]B.[■■]C.[■■]D.[■■]分析：本题若按照一般求角的方法来做很难操作但是利用几何法非常容易。解：■=■+■=（2+2cosα2+2sinα）则点A在以点C（22）为圆心半径为■的圆（x-2）+（y-2）上。如图4则当OA与圆C相切时∠AOB分别取得最大、最小值。因为OC=2■AC=2ACOA所以∠AOC=30°又∠COB=45°所以∠AOB最大为75°最小为15°故选D。三、求解向量恒成立问题例5.（2005.浙江）已知■≠■■=1对任意的t∈R恒有■-t■≥■-■则（）A.■■B.■（■-■）C.■（■-■）D.（■+■）（■-■）分析：本题采取代数法和几何法都可以解决。代数法是通过将■-t■≥■-■两边平方转化为关于t的一元二次不等式恒成立问题但计算上容易出错。解：如图5■=■■=■有■-t■≥■-■恒成立即■-■表示点A到向量■所在直线的最短距离所以有■（■-■）成立选C。例6.（2013.浙江）设ABCP0是边AB上一定点满足P0B=■AB且对于边AB上任一点P恒有■・■≥■・■则（）A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC分析：本题方法多样但是很多学生无从下手究其原因是对■・■≥■・■的本质不了解。而大多采用代数方法计算麻烦。解：利用公式■・■=■则■・■≥■・■化为■≥■如图6取BC的中点M则有■2≥■2即■≥■即点M到直线AB的距离以MP0最短所以有P0MAB取AB中点N则P0M∥CN所以CNAB所以CB=CA选D。向量是数形结合的典范在平常的教学中我们应更注重向量几何意义的教学让学生树立利用数形结合法求解向量问题的意识。（作者单位：浙江省苍南县钱库高级中学325804）