概率论与数理统计第4讲.pptx

§1.4条件概率一条件概率的概念先由一个简单的例子引入条件概率的概念引例一批同型号产品由甲乙两厂生产产品结构如下表:从这批产品中随意地取一件则这件产品为次品的概率为在已知取出的产品是甲厂生产的条件下它是次品的概率为记"取出的产品是甲厂生产的"这一事件为A"取出的产品为次品"这一事件为B.在事件A发生的条件下求事件B发生的概率这就是条件概率记作P(B|A).在本例中我们注意到:记"取出的产品是甲厂生产的"这一事件为A"取出的产品为次品"这一事件为B.事实上容易验证对一般的古典概型只要P(A)>0总有在几何概型中(以平面区域情形为例)在平面上的有界区域S内等可能投点.若已知A发生则B发生的概率为可见在古典概型和几何概型这两类"等可能"概率模型中总有二条件概率的定义定义1设AB是两个事件且P(A)>0则称例1一袋中装有10个球其中3个黑球7个白球先后两次从袋中各取一球(不放回)(1)已知第一次取出的是黑球求第二次取出的仍是黑球的概率;(2)已知第二次取出的是黑球求第一次取出的也是黑球的概率.解记Ai为事件"第i次取到的是黑球"(i=12)(1)在已知A1发生即第一次取到的是黑球的条件下第二次取球就在剩下的2个黑球7个白球共9个球中任取一个根据古典概率计算取到黑球的概率为2/9即有P(A2|A1)=2/9(2)在已知A2发生即第二次取到的是黑球条件下求第一次取到黑球的概率.但第一次取球发生在第二次取球之前故问题的结构不象(1)那么直观.我们可按定义计算P(A1|A2).注:①用维恩图表达(4.1)式若事件A已发生则为使B也发生试验结果必须是即在A中又在B中的样本点即此点必属于AB.因已知A已发生故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间.②计算条件概率有两种方法:(a)在样本空间S中先求事件P(AB)和P(A)再按定义计算P(B|A).(b)在缩减的样本空间A中求事件B的概率就得到P(B|A).例2袋中有5个球其中3个红球2个白球.现从袋中不放回地连取两个.已知第一次取得红球时求第二次取得白球的概率.解设A表示"第一次取得红球"B表示"第二次取得白球"求P(B|A).也可以直接用古典概型的办法进行考虑因为第一次取走了一个红球袋中只剩下4个球其中有两个白球再从中任取一个取得白球的概率为2/4所以三乘法公式由条件概率的定义立即得到:P(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)>0)(4.2)注意到AB=BA及AB的对称性可得到:P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)>0)(4.3)(4.2)和(4.3)式都称为乘法公式.利用它们可计算两个事件同时发生的概率.例3一袋中装10个球其中3个黑球7个白球先后两次从中随意各取一球(不放回)求两次取到的均为黑球的概率.分析这一概率我们曾用古典概型方法计算过这里我们使用乘法公式来计算.在本例中问题本身提供了两步完成一个试验的结构这恰恰与乘法公式的形式相应合理地利用问题本身的结构来使用乘法公式往往是使问题得到简化的关键.例3一袋中装10个球其中3个黑球7个白球先后两次从中随意各取一球(不放回)求两次取到的均为黑球的概率.解设Ai表示事件"第i次取得黑球"(i=12)则A1A2表示事件"两次取到的均为黑球".由题设知:注:乘法公式(4.2)和(4.3)可以推广到有限个事件积的概率情形:设A1A2An为n个事件且P(A1A2An-1)>0则P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)(4.4)例4设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时打破的概率为1/2若第一次落下未打破第二次落下打破的概率为7/10若前两次落下未打破第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.其中B(AB)=B从而四全概率公式全概率公式是概率论中的一个基本公式.它将计算一个复杂的概率问题可化为在不同情况或不同原因下发生的简单事件的概率的求和问题.定理1设A1A2An是一个完备事件组且P(Ai)>0i=12则对任一事件B有P(B)=P(A1)P(B|A1)++P(An)P(BAn)+(4.5)证明注:公式指出在复杂情况下直接计算P(B)不易时可根据具体情况构造一组完备事件{Ai}使事件B发生的概率是各事件Ai(i=12)发生条件下引起事件B发生的概率总和.直观示意图如下.例6假设经分析估计利率下调的概率为60%利率不变的概率为40%.根据经验在利率下调时某支股票价格上涨的概率为8