2019高考数学二轮复习专题七系列4选讲第二讲不等式选讲能力训练理.doc

2第二讲不等式选讲1．已知函数f(x)＝|2x－1|x∈R.(1)解不等式f(x)＜|x|＋1；(2)若对xy∈R有|x－y－1|≤eq\f(13)|2y＋1|≤eq\f(16)求证：f(x)＜1.解析：(1)∵f(x)＜|x|＋1∴|2x－1|＜|x|＋1即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(12)2x－1＜x＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(12)1－2x＜x＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤01－2x＜－x＋1))得eq\f(12)≤x＜2或0＜x＜eq\f(12)或无解．故不等式f(x)＜|x|＋1的解集为{x|0＜x＜2}．(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×eq\f(13)＋eq\f(16)＝eq\f(56)＜1.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数ƒ(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝ƒ(x)的图象；(2)当x∈[0＋∞)时ƒ(x)≤ax＋b求a＋b的最小值．解析：(1)ƒ(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3xx＜－\f(12)x＋2－\f(12)≤x＜13xx≥1.))y＝ƒ(x)的图象如图所示．(2)由(1)知y＝ƒ(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2且各部分所在直线斜率的最大值为3故当且仅当a≥3且b≥2时ƒ(x)≤ax＋b在[0＋∞)成立因此a＋b的最小值为5.3．(2018·福州四校联考)(1)求不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集；(2)设ab均为正数h＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(a))\f(a2＋b2\r(ab))\f(2\r(b))))证明：h≥2.解析：(1)记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x≤－2－2x－1－2＜x＜1－3x≥1))由－2＜－2x－1＜0解得－eq\f(12)＜x＜eq\f(12)则不等式的解集为(－eq\f(12)eq\f(12))．(2)证明：h≥eq\f(2\r(a))h≥eq\f(a2＋b2\r(ab))h≥eq\f(2\r(b))h3≥eq\f(4a2＋b2ab)≥eq\f(4×2abab)＝8当且仅当a＝b时取等号∴h≥2.4．(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)＝|ax－1|－(a－2)x.(1)当a＝3时求不等式f(x)＞0的解集；(2)若函数f(x)的图象与x轴没有交点求实数a的取值范围．解析：(1)当a＝3时不等式可化为|3x－1|－x＞0即|3x－1|＞x∴3x－1＜－x或3x－1＞x解得x＞eq\f(12)或x＜eq\f(14)故f(x)＞0的解集为{x|x＜eq\f(14)或x＞eq\f(12)}．(2)当a＞0时f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1x≥\f(1a)21－ax＋1x＜\f(1a)))要使函数f(x)的图象与x轴无交点只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2a)－1＞021－a≤0))得1≤a＜2；当a＝0时f(x)＝2x＋1函数f(x)的图象与x轴有交点；当a＜0时f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1x≤\f(1a)21－ax＋1x＞\f(1a)))要使函数f(x)的图象与x轴无交点只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2a)－1＜021－a≤0))此时无解．综上可知当1≤a＜2时函数f(x)的图象与x轴无交点．