专题73 四边形中的新定义问题（解析版）-2025《初中数学》74大招专题突破.docx

例题精讲

【例1】．定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝2，CD＝5，∠ABC＝60°，则线段BD＝3．

解：∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝30°，
∵AB＝BC，
∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图所示，
∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°
∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，
∴△BFD是等边三角形，
∴BF＝BD＝DF，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADB+∠BDC＝30°，
∴∠BFA+∠ADB＝30°，
∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴∠AFD+∠ADF＝90°，
∴∠FAD＝90°，
∴AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+CD2＝BD2，
∴BD2＝（2）2+52＝45，
∵BD＞0，
∴BD＝3，
故答案为：3．

变式训练
【变1-1】．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD．若∠DBC＝60°，∠ACB＝15°，BD＝2，则菱形ACEF的面积为12．

解：如图1，取AC的中点G，连接BG、DG，，
∵四边形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF，
∴∠ADC＝90°，
又∵∠ABC＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，点G是圆心，
∴∠ACD＝∠ABD＝90°﹣∠DBC＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AGB＝15°×2＝30°，∠AGD＝30°×2＝60°，
∴∠BGD＝30°+60°＝90°，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴BG＝DG＝，
∴AC＝2，
∴AD＝2，
∴，
∴菱形ACEF的面积为：
3
＝
＝
故答案为：12．
【变1-2】．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．

【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”．
①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D＝90度．
②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2时．则CD2﹣CB2＝5．
【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD是“对补四边形”．

（1）解：①∵∠A：∠B：∠C＝3：2：1，
∴设∠A＝3x°，则∠B＝2x°，∠C＝x°，
∵四边形ABCD是“对补四边形”，
∴∠A+∠C＝180°，
∴3x+x＝180，
∴x＝45°．
∴∠B＝2x＝90°．
∵四边形ABCD是“对补四边形”，
∴∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝90°．
故答案为：90；
②连接AC，如图，

∵∠B＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2．
∵四边形ABCD是“对补四边形”，
∴∠B+∠D＝180°．
∴∠D＝90°．
∴AD2+CD2＝AC2．
∴AB2+BC2＝AD2+CD2，
∴CD2﹣CB2＝AB2﹣AD2，
∵AB＝3，AD＝2，
∴CD2﹣CB2＝32﹣22＝5．
故答案为：5；
（2）证明：在DC上截取DE＝DA，连接BE，如图，

∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠EDB．
在△ADB和△EDB中，
，
∴△ADB≌△EDB（SAS），
∴∠A＝∠DEB，AB＝BE，
∵AB＝CB，
∴BE＝BC，
∴∠BEC＝∠C．
∵∠DEB+∠BEC＝180°，
∴∠DEB+∠C＝180°，
∴∠A+∠C＝180°，
∴四边形ABCD是“对补四边形”．
【例2】．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB'的方向平移，得到A'B'C'，连接AC'，CC'，若四边形ABCC'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是1或．

解：∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，
∴BB′＝CC′，A′B′∥AB，A′B′＝AB＝2，B′C′＝BC＝1，A′C′＝AC＝，
①如图1，当CC′＝BC时，BB′＝CC′＝BC＝1；
②如图1，当AC′＝AB＝2时，
∵∠ABC＝90°，BB′是∠ABC的角平分线，
∴∠B′BA＝45°，
延长C′B′交AB于H，
∵A′B′∥AB，∠A′B′C′＝90°，
∴∠AHC′＝∠A′B′C′＝90°，
∴∠BHB′＝90°，
设BH＝B′H＝x，
∴BB′＝x，AH＝2﹣x，C′H＝1+x，
∵AC′2＝AH2+C′H2，
∴22＝（2﹣x）2+（1+x）2