专题56 一次函数中的倍、半角问题（解析版）-2025《初中数学》74大招专题突破.docx

例题精讲

【例1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，过点B的直线BC：y＝kx+b交x轴于点C（﹣8，0）．
（1）k的值为；
（2）点M为直线BC上一点，若∠MAB＝∠ABO，则点M的坐标是（2，5）或（﹣2，3）．

解：（1）在y＝﹣2x+4中，令x＝0得y＝4，
∴B（0，4），
把B（0，4），C（﹣8，0）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴k的值为，
故答案为：；
（2）如图：

由（1）知，直线BC：y＝x+4，
设M（m，m+4），则BM＝＝|m|，
在y＝﹣2x+4中，令y＝0得x＝2，
∴A（2，0），
∵B（0，4），C（﹣8，0），
∴AB2＝（2﹣0）2+（0﹣4）2＝20，AC2＝（2+8）2+（0+0）2＝100，BC2＝（0+8）2+（4﹣0）2＝80，
∴AB2+BC2＝AC2，AB＝2，
∴∠ABC＝90°＝∠AOB，
若∠MAB＝∠ABO，则△AOB∽△MBA，
∴＝，即＝，
解得m＝2或m＝﹣2，
∴M（2，5）或（﹣2，3），
故答案为：（2，5）或（﹣2，3）．
变式训练
【变1-1】．如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为直线AB上一动点．
（1）直线AB的解析式为y＝x+2；
（2）若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标；
（3）当∠BCP＝∠BAO时，求直线CP的解析式及CP的长．

解：（1）∵直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，
∴点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+2，
故答案为：y＝x+2；
（2）∵点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），点B（0，2），
∴OA＝OC＝4，OB＝2，
∴BC＝6，
设点P（m，m+2），
当点P在线段AB上时，
∵S△APC＝S△AOC，
∴S△ABC﹣S△PBC＝×4×4，
∴×6×4﹣×6×（﹣m）＝8，
∴m＝﹣，
∴点P（﹣，）；
当点P在BA的延长线上时，
∵S△APC＝S△AOC，
∴S△PBC﹣S△ABC＝×4×4，
∴×6×（﹣m）﹣×6×4＝8，
∴m＝﹣，
∴点P（﹣，﹣），
综上所述：点P坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；
（3）如图，当点P在线段AB上时，设CP与AO交于点H，

在△AOB和△COH中，
，
∴△AOB≌△COH（ASA），
∴OH＝OB＝2，
∴点H坐标为（﹣2，0），
设直线PC解析式y＝ax+c，
由题意可得，
解得：，
∴直线PC解析式为y＝﹣2x﹣4，
联立方程组得：，
解得：，
∴点P（﹣，），
∴CP＝＝，
当点P'在AB延长线上时，设CP'与x轴交于点H'，
同理可求直线P'C解析式为y＝2x﹣4，
联立方程组，
∴点P（4，4），
∴CP＝＝4，
综上所述：CP的解析式为：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的长为或4．
【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线AD：y＝﹣x+4交y轴于点A，交x轴于点D．直线AB交x轴于点B（﹣3，0），点P为直线AB上的动点．
（1）求直线AB的关系式；
（2）连接PD，当线段PD⊥AB时，直线AD上有一点动M，x轴上有一动点N，直接写出△PMN周长的最小值；
（3）若∠POA＝∠BAO，直接写出点P的纵坐标．

解：（1）在y＝﹣x+4中，令x＝0得y＝4，
∴A（0，4），
设直线AB的关系式为y＝kx+4，把B（﹣3，0）代入得：
﹣3k+4＝0，
解得k＝，
∴直线AB的关系式为y＝x+4；
（2）设P（m，m+4），
∵PD⊥AB，
∴BP2+PD2＝BD2，
∵B（﹣3，0），D（4，0），
∴（m+3）2+（m+4）2+（m﹣4）2+（m+4）2＝49，
解得m＝﹣3（与B重合，舍去）或m＝﹣，
∴P（﹣，），
作P关于x轴的对称点S，连接PS交x轴于R，延长RP交直线AD于K，过K作KT⊥RK，取KT＝KP，如图：

∴S（﹣，﹣），
∵∠DKR＝∠DAO＝45°，KT⊥RK，
∴∠DKR＝45°＝∠DKT，
∵KT＝KP，
∴P，T关于直线AD对称，
连接TS交AD于M，交x轴于N，则此时△PMN周长的最小，最小值即为TS的长，
在y＝﹣x+4中，令x＝﹣得y＝，
∴K（﹣，），
∴PK＝KT＝，
∵KS＝+＝，
∴TS＝＝，
∴△PMN周长的最小值为；
（3）当P在y轴左侧时，过P作PH⊥y轴于H，在H下方取HW＝HA，连接PW，若此时PW＝OW，则∠PWA＝∠BAO＝2∠POA，如图：

∵OB＝3，OA＝4，
∴＝＝，
设PH＝3t，则AH＝HW＝4t，
∴PW＝5t＝OW，
∵OW+HW+AH＝OA＝4，