专题58 二次函数中的面积问题（解析版）-2025《初中数学》74大招专题突破.docx

例题精讲

求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．
【问题描述】在平面直角坐标系中，已知、、，求△ABC的面积．

【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：

构造矩形ADEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积．
这是在“补”，同样可以采用“割”：

此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离．
由题意得：AE+BF=6．

下面求CD：
根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为：
由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4，
将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2，
故D点坐标为（4,2），CD=5,
．

【方法总结】
作以下定义：
A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”；
过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”．
如图可得：

【解题步骤】
（1）求A、B两点水平距离，即水平宽；
（2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；
（3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；
（4）根据C、D坐标求得铅垂高；
（5）利用公式求得三角形面积．

例题精讲

【例1】．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．点P为抛物线第二象限上一动点，连接PB、PC、BC，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

解：令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3（k≠0），
把点B坐标代入y＝kx+3得﹣3k+3＝0，
解得k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
设P的横坐标是x（﹣3＜x＜0），则P的坐标是（x，﹣x2﹣2x+3），
过点P作y轴的平行线交BC于M，则M（x，x+3），

∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S△PBC＝PM•|xB﹣xC|＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣（x2+3x）＝﹣（x+）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝﹣时，S△PBC有最大值，最大值是，
∴△PBC面积的最大值为；
当x＝﹣时，﹣x2﹣2x+3＝，
∴点P坐标为（﹣，）．
变式训练
【变1-1】．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

解：（1）∵y＝ax2+bx+3经过A（1，0），C（4，3），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
设直线AC的解析式为y＝kx+h，
将A、C两点坐标代入y＝kx+h得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣1；
（2）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y＝x+m，

联立，
消掉y得，x2﹣5x+3﹣m＝0，
△＝（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）＝0，
解得：m＝﹣，
即m＝﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x＝，y＝﹣＝﹣，
∴点E的坐标为（，﹣），
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），
∴AF＝﹣1＝，
∵直线AC的解析式为y＝x﹣1，
∴∠CAB＝45°，
∴点F到AC的距离为AF•sin45°＝×＝，
又∵AC＝＝3，
∴△ACE的最大面积＝×3×＝，此时E点坐标为（，）．
【变1-2】．如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标．

解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，
∴A（0，2），
令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得x＝4，
∴C（4，0）．
把A、C两点代入y＝﹣x2+bx+c得，，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图，

设M（a，﹣a2+a+2），则N（a，﹣a+2），
∴S△ACM＝•MN•OC＝（﹣a+2﹣a2﹣a﹣2）×4＝﹣a2+2a，
S△ABC＝•BC•OA＝×（4+2）×2＝6，
∴S四边形ABCM＝S△ACM+S△ABC＝﹣a2+2a+6＝＝﹣（a﹣2）2+8，
∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，此时M的坐标为（2，2）．
【例2】．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m），点P是线段AC上一个动