专题63 二次函数背景下的倍、半角角度问题（解析版）-2025《初中数学》74大招专题突破.docx

例题精讲

【例1】．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．

解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，
∴点B（﹣3，0），
∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
如图1，当点D在点C上方时，

∵∠DBC＝15°，
∴∠OBD＝30°，
∴tan∠DBO＝＝，
∴OD＝×3＝，
∴CD＝3﹣；
若点D在点C下方时，
∵∠DBC＝15°，
∴∠OBD＝60°，
∴tan∠DBO＝＝，
∴OD＝3，
∴DC＝3﹣3，
综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；
（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，

∵点A（1，0），点C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，
∴AC＝＝＝，
∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，
∴△OCE≌△OCA（SAS），
∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，
∴∠ECA＝2∠ACO，
∵∠PAB＝2∠ACO，
∴∠PAB＝∠ECA，
∵S△AEC＝AE×OC＝AC×EF，
∴EF＝＝，
∴CF＝＝＝，
∴tan∠ECA＝＝，
如图2，当点P在AB的下方时，设AP与y轴交于点N，
∵∠PAB＝∠ECA，
∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，
∴ON＝，
∴点N（0，﹣），
又∵点A（1，0），
∴直线AP解析式为：y＝x﹣，
联立方程组得：，
解得：或，
∴点P坐标为：（﹣，﹣），
当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，
联立方程组得：，
解得：或，
∴点P坐标为：（﹣，），
综上所述：点P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）．
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C．直线y＝﹣x+2经过于点C、点B，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为第一象限抛物线上一动点，过点D作y轴的平行线交线段BC于点E，交x轴于点Q，当DE＝5EQ时，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M为第二象限抛物线上一动点，连接DM，DM交线段OC于点H，点F在线段OB上，连接HF、DF、DC、DB，当HF＝，∠CDB＝2∠MDF时，求点M的坐标．
解：（1）针对于直线y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
令y＝0，则0＝﹣x+2，
∴x＝4，
∴B（4，0），
将点B，C坐标代入抛物线y＝ax2+x+c中，得
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图1，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，
设点D坐标为（m，﹣m2+m+2），
∵DE⊥x轴交BC于E，直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
∴D（m，﹣m+2），
∴DE＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m，DQ＝﹣m+2，
∵DE＝5EQ，
∴﹣m2+m＝5（﹣m+2），
∴m＝3或m＝4（点B的横坐标，舍去），
∴D（3，3）；

（3）如图2，
由（2）知，D（3，3），
由（1）知，B（4，0），C（0，2），
∴DB＝，DC＝，BC＝2，
∴DC＝DB，DB2+DC2＝BC2，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∵BDC＝2∠FDM＝90°，
∴∠FDM＝45°，
过点D作DP⊥y轴于P，则DQ＝DP，OP＝3，
∴CP＝1＝BQ，
∴△DPC≌△DQB（SAS），
在CP的延长线取一点G，使PG＝QF＝n，
∴OF＝3﹣n，OG＝3+n，
∴△DPG≌△DQF（SAS），
∴DG＝DF，∠PDG＝∠QDF，
∴∠FDG＝∠PDG+∠PDF＝∠QDF+∠PDG＝∠PDQ＝90°
∴∠GDM＝90°﹣∠FDM＝45°＝∠GDM，
∵DH＝DH，
∴△GDH≌△FDH（SAS），
∴GH＝FH＝，
∴OH＝OG﹣GH＝3+n﹣＝n+，
在Rt△HOF中，根据勾股定理得，（n+）2+（3﹣n）2＝，
∴n＝1或n＝（此时，OH＝n+＝2，所以点H与点C重合，舍去），
∴H（0，），
∵C（3，3），
∴直线CH的解析式为y＝x+①，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2②，
联立①②解得，或（由于点M在第二象限，所以舍去），
∴M（﹣，）．

【例2】．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0