专题59 二次函数背景下的等腰三角形、直角三角形存在性问题（解析版）-2025《初中数学》74大招专题突破.docx

模型介绍

一、如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．

【几何法】“两圆一线”得坐标
（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；
（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．

【注意】若有三点共线的情况，则需排除．

作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．

同理可求，下求．

显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：

而对于本题的，或许代数法更好用一些．
【代数法】表示线段构相等

（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），
（2）表示线段：，
（3）分类讨论：根据，可得：，
（4）求解得答案：解得：，故坐标为．
小结
几何法：（1）“两圆一线”作出点；
（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．

代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；
（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；（4）列出方程求解．
问题总结：
（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；
（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；
（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．

二、【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．

【几何法】两线一圆得坐标
（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）

重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例：
【构造三垂直】

求法相同，以为例：

构造三垂直步骤：
第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；
第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．
例题精讲

考点一：二次函数中的直角三角形存在性问题
【例1】．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设y＝（x﹣2）2+k，把A（﹣1，0）代入得：
（﹣1﹣2）2+k＝0，
解得：k＝﹣9，
∴y＝（x﹣2）2﹣9＝x2﹣4x﹣5，
答：抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，如图：

设P（m，m2﹣4m﹣5），则PM＝|m2﹣4m﹣5|，
∵A（﹣1，0），
∴AM＝m+1
∵∠PAB＝45°
∴AM＝PM，
∴|m2﹣4m﹣5|＝m+1，
即m2﹣4m﹣5＝m+1或m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），
当m2﹣4m﹣5＝m+1时，解得：m1＝6，m2＝﹣1（不合题意，舍去），
当m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），解得m3＝4，m4＝﹣1（不合题意，舍去），
∴P的坐标是（6，7）或P（4，﹣5）；
（3）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形，理由如下：
在y＝x2﹣4x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x＝﹣1或x＝5，
∴B（5，0），C（0，﹣5），
由抛物线y＝x2﹣4x﹣5的对称轴为直线x＝2，设Q（2，t），
∴BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，
当BC为斜边时，BQ2+CQ2＝BC2，
∴9+t2+4+（t+5）2＝50，
解得t＝﹣6或t＝1，
∴此时Q坐标为（2，﹣6）或（2，1）；
当BQ为斜边时，BC2+CQ2＝BQ2，
∴50+4+（t+5）2＝9+t2，
解得t＝﹣7，
∴此时Q坐标为（2，﹣7）；
当CQ为斜边时，BC2+BQ2＝CQ2，
∴50+9+t2＝4+（t+5）2，
解得t＝3，
∴此时Q坐标为（2，3）；
综上所述，Q的坐标为（2，3）或（2，﹣7）或（2，1）或（2，﹣6）．
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（4，0），B（﹣1，0），交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是直线AC上一动点