数学分析 重积分.docx

数学分析重积分

第一篇：数学分析重积分《数学分析》教案第二十一章重积分教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分；2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关的数学、物理方面的计算问题；教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累次积分。教学时数：22学时§1二重积分概念一.矩形域上的二重积分:从曲顶柱体的体积引入.用直线网分割.定义二重积分.例1用定义计算二重积分.用直线网分割该正方形,在每个正方形上取其右上顶点为介点.解.二.可积条件:D.大和与小和.Th1，.《数学分析》教案性质6.性质7中值定理.Th若区域D的边界是由有限条连续曲线()组成,例3去掉积分在D上连续,则在D上可积.或中的绝对值.§2二重积分的计算二.化二重积分为累次积分:1.矩形域上的二重积分:用“体积为幂在势上的积分”推导公式.2.简单域上的二重积分:简推公式,一般结果]P219Th9.例1，.解法一P221例3解法二为三角形,三个顶点为,.例2,.P221例2.例3求底半径为的两直交圆柱所围立体的体积.P222例4.《数学分析》教案解法一(直接计算积分)曲线AB的方程为.方向为自然方向的反向.因此.解法二(用Green公式)补上线段BO和OA(O为坐标原点),成闭路.设所围区域为D,注意到D为反向,以及,有.例2计算积分I=,其中L为任一不包含原点的闭区域D的边界(方向任意)P227例2解导数)..（和在D上有连续的偏,.于是,I=.二.曲线积分与路线无关性:《数学分析》教案;.例6验证式P231例4是恰当微分,并求其原函数.§4二重积分的变量变换:（4时）1.二重积分的变量变换公式:设变换的Jacobi,则,其中是在该变换的逆变换下平面上的区域在平面上的象.由条件一般先引出变换.而,这里的逆变换是存在的.,由此求出变换.例1,.P235例1.註当被积函数形如区域为直线型时,可试用线性变换,积分.《数学分析》教案极坐标变换:,.广义极坐标变换:,.例4.P240例3.例5(Viviani问题)求球体被圆柱面所割下立体的体积.P240例4.例6应用二重积分求广义积分.P241例5.例7求橢球体四.积分换序:例8连续.对积分的体积.P241例6.换序..例9连续.对积分换序..例10计算积分..§5三重积分简介《数学分析》教案例2,:.解.法一(内二外一),其中为椭圆域,即椭圆域,其面积为.因此.同理得,.因此.法二(内一外二)上下对称，为的偶函数，1《数学分析》教案Th21.13P247.1.柱坐标:P248.例4，:.P248例32.球坐标:P249.P250例4.§6重积分的应用一、曲面的面积设曲面方程为.有连续的一阶偏导数.推导曲面面积公式,或.例1P253例1`.3-第二篇：数学分析曲面积分《数学分析》教案第二十二章曲面积分教学目的：1.理解第一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同时明确它们的联系；2.掌握高斯公式与斯托克斯公式；3.理解有关场的概念，掌握梯度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。教学重点难点：本章的重点是曲面积分的概念、计算；难点是第二型曲面积分。教学时数：18学时§1第一型曲面积分一.第一型面积分的定义:1.几何体的质量:已知密度函数,分析平面区域、空间几何体的质量定义及计算2.曲面的质量:3.第一型面积分的定义:定义及记法.,面积分.4.第一型面积分的性质:二.第一型面积分的计算:1.第一型曲面积分的计算:Th22.2设有光滑曲面续函数,则.为上的连.例4计算积分,其中是球面被平面所截的顶部.P281《数学分析》教案D上的连续函数,以的上侧为正侧(即),则有.证P类似地,对光滑曲面D.,在其前侧上的积分对光滑曲面D,在其右侧上的积分.计算积分，时,通常分开来计算三个积分,.为此,分别把曲面投影到YZ平面,ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算.投影域的侧由曲面的定向决定.例1计算积分,其中是球面在部分取外侧.P287例2计算积分，为球面取外侧.《数学分析》教案对积分则有:;,分别用和记上半球面和下半球面的外侧，:.因此,=+=.综上,=§3Gauss公式和Stokes公式.一.Gauss公式:Th22.6设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面围成.若函数在V上连续,且有连续的一阶偏导数,则,其中取外侧.称上述公式为Gauss公式或Остроградский―Gauss公式.《数学分析》教案解.由Gauss公式.例2计算积分，其中是边.P291长为的正方体V的表面取外侧.V:解应用Gauss公式,有.例1计算积分在平面，为锥面下方的部分，取外法线方向.解设为圆取上侧,则构成由其所围锥体V的表面外侧,由Gauss公式,有=而锥体V