数学分析 重积分.pptx

数学分析重积分§1.二重积分的概念2.二重积分的定义
设是平面上的一个有界闭区域.是零面积
集合.是定义在上的函数.用两组
相互横截的曲线将分成个小区域.

并进一步假定分割的曲线都是零面积的.
令.再任取,考察和

记
如果存在数,对,,使得

只要,不论
分割曲线组及中间点如何选取，那么就称
在上可积.称为
在上的二重积分.记作
或.3.可积的必要条件与充分条件
定理1.1若在可求面积的有界闭区
域上可积,则在上有界.
定理1.2设是平面上有界闭区域,边界是零
面积集合.又设在上连续,则
在上可积.4.二重积分的基本性质
(1)

(2)(3)(区域可加性)设且,
都是可求面积的,在上均
可积,则在上可积,且
.(4)若,,则
.(5)积分中值定理
设在可求面积的有界闭区域上
连续,则在上至少存在一点,
使得
,
其中的面积.§2.二重积分的计算例1求.

例2求.
例3写出所对应的累次积分,其
中由所围.2.利用对称性化简计算
例4.设,求
,.
例5.求.3.极坐标下二重积分的计算
定理2.2设为可求面积的有界闭区域,
在上可积,则

其中.例6.设,
,
求.
例7.将用极坐标化成二次积分,
其中为
(1)
(2)由
所围成
(3)由所围成
例8.求,其中是
在第一卦限的部分.§3.二重积分的一般变元替换法则定理3.1在上述假定下,有下列公式例1.,求
.
例2.,求
.
例3.求所围区
域的面积.§4.三重积分的概念与计算若对的任一分割法及中间点的任意选取,
Riemann和的极限

总存在,且为同一极限值,则称为
在的三重积分,记为
或.