谈函数定义域的类型与求法.doc

谈函数定义域的类型与求法导读:函数的定义域是函数三要素之关键。函数的定义域(使函数解析式有意义的自变量的取值范围)似乎是非常简单的。解析式浅谈函数定义域的类型与求法。:解析式定义域函数作为高中数学的主线贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是函数三要素之关键特别是函数性质必须从定义域出发它在解决和研究函数最值、奇偶性、周期、方程、不等式等问题中起着十分重要的作用。函数的定义域(使函数解析式有意义的自变量的取值范围)似乎是非常简单的然而在解决问题中不加以注意常常会使人误入歧途。大全解析式。本文介绍求函数定义域的类型和求法目的在于使学生全面认识定义域深刻理解定义域正确求函数的定义域在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响树立起“定义域优先”的观点对提高学生的数学思维的培养是十分有益的。一、一般型即给出函数的解析式求定义域其解法的一般原则是:①如果为整式其定义域为R;②如果为分式其定义域是使分母不为0的实数集合;③如果是二次根式(偶次根式)其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合;④如果是基本初等函数(如指数函数、对数函数、三角函数、无理函数等)掌握其函数定义域。⑤如果是由以上几个部分的数学式子构成的其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;⑥f(x)=x0的定义域是;例1:y=lg(6-x2)解:要使函数有意义则必须满足x+5≥0x≥-5∵6-x20∴-6-x2≠1x≠±解得-且x≠±二、实际问题型函数的解析式包括定义域和对应法则所以在求函数的解析式时必须要考虑所求函数解析式的定义域还要考虑实际问题中定义域受到实际意义的制约否则所求函数关系式可能是错误。如:例2:将一个底面圆的直径为d的圆柱截成横截面为长方形的棱柱若这个长方形截面的一条边长为x对角线为d截面的面积为A求面积A以x为自变量的函数关系式?解:设截面的一条边长为x对角线为d另一条边为由题意得:S=x故函数解析式为:S=x如果解题到此为止则本题的函数关系式还欠完整缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或取不小于d的数时S的值即截面的面积A为负数或被开方数为负数无意义这与实际问题相矛盾所以还应补上自变量的范围:即:函数关系式为:S=x()这个例子说明在用函数方法解决实际问题时必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。三抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数不能常规方法求解一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式一般有两种情况(1)已知的定义域求的定义域。其解法是:已知的定义域是[ab]求的定义域是解即为所求的定义域。例3已知的定义域为[-22]求的定义域。解:令得即因此从而故函数的定义域是(2)已知的定义域求f(x)的定义域。其解法是:已知的定义域是[ab]求f(x)定义域的方法是:由求g(x)的值域即所求f(x)的定义域。大全解析式。例4已知的定义域为[12]求f(x)的定义域。解:∵1x2∴22x4∴32x+15故函数f(x)的定义域是评述:例3和例4是互为逆向的解这类题的关键在于搞清复合函数的自变量问题抓住已知条件得到要求函数的未知数。变式题例5:已知函数y=f(x+1)的的定义域是[-23]求y=f(2x-1)的定义域。解:∵函数y=f(x+1)的的定义域是[-23]∴-2x3∴-1x+14∴定义域[-14]。再由-12x-14得0x故y=f(2x-1)的定义域是[0]。四逆向思维型给出函数的解析式可以求出其定义域有时我们也会遇到给出函数式并给出其定义域要求其函数式中参数的取值范围。例6已知函数y=的定义域是R求实数m的取值范围。解:函数y的定义域是R即要求对任意实数xmx2-6mx+m+80恒成立。(1)当m=0时y=其定义域为R;(2)当m0时要使mx2-6mx+m+80恒成立。只需m0△=36m2-4m(m+8)00m1综上所述m的取值范围是0le1。大全解析式。大全解析式。五隐蔽型有些问题从表面上看并不求定义域但是不注意定义域往往导致错解事实上定义域隐蔽在问题中例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此求函数的单调区间必须先求定义域。例7:指出函数的单调区间.解:先求定义域:∴函数定义域为.令知在上时u为减函数在上时u为增函数。又∵.∴函数在上是减函数在上是增函数。即函数的单调递增区间单调递减区间是。如果在做题时没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性就说明学生对函数单调性的概念一知半解没有理解在做练习或作业时只是对题型套公式而不去领会解题方法的实质也说明学生的思维缺乏深刻性。六、参数型对于含有参数的函数求其定