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谈函数定义域的类型与求法
导读:函数的定义域是函数三要素之关键。函数的定义域(使函数解析式有意义的自变量的取值范围)似乎是非常简单的。解析式,浅谈函数定义域的类型与求法。:解析式,定义域函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是函数三要素之关键,特别是函数性质必须从定义域出发,它在解
决和研究函数最值、奇偶性、周期、方程、不等式等问题中起着十分重要的作用。函数的定义域(使函数解析式有意义的自变量的取值范围)似乎是非常简单的,然而在解决问题中不加以注意,常常会使人误入歧途。大全,解析式。本文介绍求函数定义域的类型和求法,目的在于使学生全面认识定义域,深刻理解定义域,正确求函数的定义域,在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响,树立起“定义域优先”的观点,对提高学生的数学思维的培养是十分有益的。
一、一般型
即给出函数的解析式求定义域,其解法的一般原则是:
①如果为整式,其定义域为R;
②如果为分式,其定义域是使分母不为0的实数集合;
③如果是二次根式(偶次根式),其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合;
④如果是基本初等函数(如指数函数、对数函数、三角函数、无理函数等),掌握其函数定义域。
⑤如果是由以上几个部分的数学式子构成的,其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;
⑥f(x)=x0的定义域是;
例1:y=lg(6-x2)
解:要使函数有意义,则必须满足
x+5≥0x≥-5
∵6-x20∴-
6-x2≠1x≠±
解得-且x≠±
二、实际问题型
函数的解析式包括定义域和对应法则,所以在求函数的解析式时必须要考虑所求函数解析式的定义域,还要考虑实际问题中定义域受到实际意义的制约,否则所求函数关系式可能是错误。如:
例2:将一个底面圆的直径为d的圆柱截成横截面为长方形的棱柱,若这个长方形截面的一条边长为x,对角线为d,截面的面积为A,求面积A以x为自变量的函数关系式?
解:设截面的一条边长为x,对角线为d,另一条边为,由题意得:
S=x
故函数解析式为:S=x
如果解题到此为止,则本题的函数关系式还欠完整,缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或取不小于d的数时,S的值即截面的面积A为负数或被开方数为负数无意义,这与实际问题相矛盾,所以还应补上自变量的范围:
即:函数关系式为:S=x()
这个例子说明,在用函数方法解决实际问题时,必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点,就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化,就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。
三抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况
(1)已知的定义域,求的定义域。
其解法是:已知的定义域是[a,b]求的定义域是解,即为所求的定义域。
例3已知的定义域为[-2,2],求的定义域。
解:令,
得,即,
因此,从而,
故函数的定义域是
(2)已知的定义域,求f(x)的定义域。
其解法是:已知的定义域是[a,b],求f(x)定义域的方法是:由,求g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。大全,解析式。
例4已知的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。
解:∵1x2,
∴22x4
∴32x+15
故函数f(x)的定义域是
评述:例3和例4是互为逆向的,解这类题的关键在于搞清复合函数的自变量问题,抓住已知条件,得到要求函数的未知数。变式题
例5:已知函数y=f(x+1)的的定义域是[-2,3],
求y=f(2x-1)的定义域。
解:∵函数y=f(x+1)的的定义域是[-2,3],
∴-2x3,
∴-1x+14,
∴定义域[-1,4]。
再由-12x-14,得0x
故y=f(2x-1)的定义域是[0,]。
四逆向思维型
给出函数的解析式可以求出其定义域,有时我们也会遇到给出函数式并给出其定义域,要求其函数式中参数的取值范围。
例6已知函数y=的定义域是R,求实数m的取值范围。解:函数y的定义域是R,即要求对任意实数x,mx2-6mx+m+80恒成立。(1)当m=0时,y=,其定义域为R;(2)当m0时,要使mx2-6mx+m+80恒成立。只需m0△=36m2-4m(m+8)00m1综上所述,m的取值范围是0le
1。大全,解析式。大全,解析式。
五隐蔽型
有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐蔽在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此,求函数的单调区间,必须先求定义域。
例7:指出函数的单调区间.
解:先求定义域:
∴函数定义域为.
令,知在上时,u为减函数,
在上时,u为增函数。
又∵.
∴函数在上是减函数,在上是增函数。
即函数的