如何培养学生的猜想和直觉能力.doc

如何培养学生的猜想和直觉能力近期《中学数学教学参考》刊登了不少较好的文章特别是与数学教育总的改革形势相呼应其中更包括了一些由身处教学第一线的教师所撰写的颇具新意的文章．例如本刊第10期上所发表的张蕴禄同志的文章(以下简称“张文”)就围绕如何培养学生的猜想和直觉能力这一十分重要的问题提出了一个与传统观点很不相同的见解：“能否少问学生几个‘为什么’”．?事实上正如人们现已普遍认识到的我们应当把培养学生的创新能力作为数学教育的一个基本目标．但是如果我们的教师不具有任何的创新意识而只是束缚于各种传统的观念或教学模式中那么上述的目标自然就不可能顺利地得以实现．(也正是在同样的意义上笔者以为我们并应充分肯定《中学数学教学参考》在这一方面所发挥的重要的导向作用；而且与全国诸多的同类刊物相比《中学数学教学参考》更在创新上表现出鲜明的特色．对此读者也可作出自己的判断．)?然而在充分肯定创新精神的同时笔者以为我们又应注意作出适度的平衡特别是应当防止因“标新立异”而由一个极端走向另一个极端．以下就从这样的角度对如何培养学生的猜想和直觉能力的问题作出进一步的分析或者说即是对“张文”所提出的观点作一必要的补充或澄清．?首先笔者以为这是“张文”的一个基本立足点即我们应当注意培养(应当指明在“张文”原来的意义上使用“保护”这样一个术语也许是更为恰当的)学生的猜想能力、想象能力和直觉能力．这一基本主张当然无可非议；而且笔者也认为学生(至少是一部分同学)对于某些问题能作出很好的猜测或者说具有很好的直觉能力；再者“在数学中(又)确实有许多‘只可意会、不可言传’的东西要说明为什么有时是很困难的”．但是现在的问题是我们能否由此而引出这样的结论即应“少问学生几个‘为什么’”??我想对于直觉的“易谬性”在此不用作过多的强调；但是如果不是坚持提出“为什么”学生又怎么可能很好地形成“证明”的意识呢?我们又怎么能够深切地认识到“证明”的必要性及其积极意义呢??事实上在笔者看来除历史特别是中国古代数学发展的历史以外美国自80年代以来在“问题解决”这一方向上所进行的改革实践也已为上述的结论提供了进一步的论据．具体地说在所说的改革实践中人们经常可以看到这样的现象即学生们(甚至包括教师)只是满足于用某种方法(包括观察、实验和猜想)求得了问题的解答却不再对此进行进一步的思考和研究甚至未能对所获得结果的正确性作出必要的检验和证明．这种现象当然引起了人们特别是数学家的极大不安．例如美国加州大学的伍鸿熙教授就曾强调指出对于直觉与非形式的强调是无可非议的但是我们并不能以此去取代数学证明而只能作为后者的必要补充；而“如果在解决问题的过程中总是满足于不加证明的猜测他们(指学生们——注)很快就会忘记在猜测与证明之间的区分”而后者甚至可以说比根本不知道如何去解决问题更糟因为“证明正是数学的本质所在”．(详见另文：《关于“大众数学”的反思》．载：《数学教育的现代发展》．南京：江苏教育出版社2019)?当然应当明确的是“张文”并没有任何否定证明的意思勿宁说他所强调的主要是这样一点：“数学教学应重视数学猜想和数学直觉思维．特别是在猜想阶段在不知道结论是什么的阶段尽量少问学生‘为什么’．”但是在笔者看来这事实上即就涉及到了如下进一步的问题即应如何去培养学生的猜想和直觉能力?特别是所说的这两种能力究竟应被看成是一种天赋还是有一个后天发展的过程?另外多问“为什么”是否就会抑制学生猜想和直觉能力的发展?就前一个问题而言我想大多数数学工作者包括数学教师都会由自己的亲身体验对此作出明确的答复也即认为应当肯定猜想和直觉能力的发展性和可培养性．例如对于一个专业的数学工作者来说他所具有的数学直觉显然已不再是一种素朴意义上的原始直觉而是一种精致化了的直觉也即是通过多年的学习和研究才逐渐养成的；另外也正是基于这样的认识我们才能谈到“学会猜想”或如波利亚所提倡的那样如何帮助学生去“学会合理的猜想”．?显然如果承认上述的立场那么一个必然的结论就在于作为一个教师我们不仅应当注意“保护”学生已有的猜想能力和直觉能力而且应更加注意帮助学生学会合理的猜想方法并使他们的直觉不断得到发展和趋向精致．进而笔者认为必要的反思则又正是培养和发展猜想与直觉能力的重要一环．事实上按照不少著名学者(如皮亚杰)的分析这正是数学思维的一个重要特点即其主要地建立在所谓的“自反抽象”之上(对此应与其他自然科学中的“经验抽象”明确地加以区分)从而也就是与反思的活动直接相联系的．特殊地又由于经常地自问“为什么”正是所说的“反思活动”的一个基本形式因此在这样的意义上笔者以为为了很好地培养学生的猜想和直觉能力我们就不仅应当经常地问学生“为什么”而且更应努力促进学生由“被动状态”向相应的“自觉状态”的转变也即由被动地去回答老师关于“为什么”的问题而发展成为经常