数学的文化涵义.doc

数学的文化涵义一、作为独立学科的数学人们在中小学以至大学里学过不少数学。尽管如此人们对教学仍不甚了了乃至发生误解。有些学生和成年人（因为学生总是要长大的）往往害怕或厌恶数学。这个问题的根源何在呢？是否在于数学的本身的性质？人们首先把数学成功地应用于对自然界的研究（天文学、物理学以后是化学、气象学和生物学）而且这种应用至今仍然十分重要。大概是因为如此数学被认为是自然科学的一个分支。但是数学井不属于自然科学。当今它在经济学中的应用是很重要的它是这类科学的不可缺少的组成部分。仅就其应用而言数学绝不能划归自然科学。不过还有一个不把教学划归自然科学的原则上更为重要的理由。表面上看数学的发展是由于技术和其他科学的需要而实质上它受到与在艺术中起作用的好奇心和求知欲相类似的心理状态的驱使。承计这一点对组织各种年龄（从小学到攻读博士学位）的教育有着重大影响。为了说明教学的这种独立性让我来举几个例子。在广义相对论中爱因斯坦(Einstein1879－1955)使用了黎曼几何和能量计算。但是这些智力工具并非是为物理学而建立的它早已在纯数学内部发展起来。这类工具的出现早于爱因斯坦使用它们的时候。黎曼(Riemann1826－1866)引进了现在称为黎曼微分几间的数学理论在黎曼空间中人们可以计算各种距离可以有各种曲率的概念。人们习惯于把能量计算同里奇(Ricci1853－1925)的名字联系起来利用它可以处理各种几何量及其在坐标变换下的变化。张量计算变得为人熟知则是由于爱因斯坦把它用于1916年发表的广义相对论中。爱因斯坦是从格罗斯曼(Grossman1878－1936)那里学到这种技术的。另一个例子是在希尔伯脱空间中有关自轭变换的谱分裂的理论。这个理论的重要部分即连续自轭算符的理论是希尔伯脱(Hilbert1862－1943)以纯数学理论的形式建立的它也不是从物理观测中得出的但它们对于表述量子定律是必需的。第三个例子是理论物理中的弦理论。在这个理论中人们不止一次地用到抽象的和新发展的数学理论。威格纳（Wigner）写道：数学的巨大用途有些近乎神秘不存在任何合理的解释。正是数学概念的这些令人吃惊的用途激发了统一我们的物理理论的要求[Wigner1960:2]。我们还可援引戴森(Dyson)的话：对于物理学家来说数学不仅是用以计算各种现象的工具而且还是使新理论得以建立的概念和原理的主要源泉[Dyson1968]。不过数学家并不总是成功的。按照戴森的说法数学家曾多次错过推进科学的机会[Dyson1972]。例如麦克斯韦（Maxwell1831－1879）方程发表于1873年它为数学家提供了极其有意义的工作领域但却没有受到足够重视。如果他们立即着手研究这个问题他们也许会比爱因斯坦早几十年发现相对论。这个大胆的断言是基于如下的概念：麦克斯韦方程在某种变换群下形式不变。这个群一般说来是数学的重要课题。麦克斯韦方程在洛仑兹群下是不变的而牛顿（Newton）力学的方程则是在另一种群即伽利略(Galilei)群下不变的。人们发现洛仑兹群比伽利略群在数学上更简单更优雅。假如人们早去研究这个群的数学性质他们也许会发现狭义相对论。自然应当注意以上的论证用的都是假定式。我们不能证明假如数学家做了另外的事情况将会怎样。戴森的断言虽然令人沮丧但是却象以上的正面例子那样证明了如下的信念：数学是独立的从数学内部可以发现有物理意义的理论。鉴于数学的独立性再参考这里援引的威格纳和戴森的话我们会间：物理理论是否仅限于在某个时候数学的理论和方法能够加以处理的那些理论？如果是为什么这样的数学方法总是在一定的时候产生？不同的数学是否会产生不同的物理学？这些问题对于数学家的职责有何影响对于科学政策的制定有何影响？二、数学的固定性和可变性很多人相信数学是固定的真理的集合是永恒不变的定律的集合。产生这种信念的原因是不难理解的。人们学过二加二等于四很难设想这个真理在某个时候会变为谬误。我们看到的地上的石头已有大约十亿年的历史再过几百万年它就会变为粉末。但是再经过这么多年二加二等于四仍然正确。难道你不相信这一点？数学似乎比我们的物理世界最稳定的成分还要稳定。在其他知识领域有关世界的一般认识变得更快。按照魏格纳（Wegener1880一1930）的理论大陆是在漂移着的。当我还在学校上学的时候老师告诉我他的理论是幼稚的、谬误的。而现在一个公认的事实是例如南美洲和非洲在某个时期曾连在一起。我学到的是人有48条染色体。而现在人们说人只有46条染色体数目48是误数的结果现在人们在照片上看到的只有46条。我自己的有关世界的知识就这样地变化着。至于数学我学到的是函数X一〉X4的导数为4X一〉X3直到现在我也没有听到过其他说法。这些事实给予我们一个不可磨灭的印象：地质学是发展的生物学是发展的而数学是不发展