例谈数学解题思路的生成.doc

例谈数学解题思路的生成解题的方法不能全靠记、全靠蒙。方法的生成是有源头的发现解题方法的思路是有规律可循的讲评数学难题关键之一是讲清解题思路及其生成途径。1例．把一个三角形分成面积相等的4个三角形可以怎样分？你能想到几种分法（人教版数学·五年级上册·多边形的面积）【分析】把一个三角形分成面积相等的4个三角形所得的每个小三角形的面积是大三角形面积的1/4.2发现方法的途径2.1从知识到方法——思路1三角形面积的代数公式为S＝ah÷2把一个三角形分成面积相等的四个三角形其实就是要对三角形的底边a或（和）高h进行切分高h是顶点到对应底边的距离为一定值从“高”的概念首先容易想到对某一底边四等分（图1）。解题思路首先是题中情境或条件或求解、求证目标初步激活思维实现知识链接而形成进而从包括概念、公式和定理在内的知识出发去发现方法。解题思路的生成依赖于知识链接知识链接是形成思路并发现方法的主要途径。2.2从数的角度切入生成方法——思路2形的问题即基础的几何问题的求解、求证需要从数量关系的角度比较、判断、分析需要进行量的替换。形的情境或问题需要从数的角度切入、推理并解决。本例拆分底边a或（和）高h的基本思路就是依据知识从数的角度切入而生成的。另外从数的角度稍做变换可把本例的切分对象看做整体1将一个三角形分成面积相等的4个三角形就是把1拆分为两个1/2再把每个1/2再均分生成分步拆分底边的方法。将大三角形先拆分为两个面积相等的较小的三角形即⊿DCB和⊿ACD再将这两个较小的三角形在不同的底边上进行平分（图2）即对大三角形做两次均等分割有多种具体分法。或者先把1看做1/4＋3/4再把3/4看做1把后面这个1看做1/3＋2/3……从数的角度切入形的情境把数与形相结合、相印证是一种重要的数学解题思路与方法在精讲例（习）题时应该给予关注。习题讲评不仅要起到对知识、方法加强记忆与理解的作用更主要的是培养学生的思维能力。训练学生的思维捕捉思维的目标指向是关键之一在解析或讲评例、习题时把数和形结合起来从数的角度切入、推理打开解决关于形的问题的思路或用形的方式表述、印证数量关系可拓宽思维的视角是发现思维目标指向的有效途径对培养学生的思维能力很有效。从数的角度切入形的情境并解决问题能够拓展思维的深度。不过小学生的抽象思维能力有限讲解数量关系及其变换往往需要对照图形呈现、分析。2.3变换角度生成方法——思路3图1所示的方法从概念推知也好凭直觉蒙也好学生容易想到。从图1的图形来看这一方法可看做用D点平分AB再用G与K点分别平分BD与AD。换个角度也可看做先用G点分割出⊿GCB和⊿ACG再用D与K点对⊿ACG进行三等分分割。即生成新的分切方法：按1︰3切分某一底边产生一小一大两个三角形⊿GCB和⊿ACG再将较大的⊿ACG切分为3个面积相等的小三角形可以直接将某个底边三等分或分步切分也生成许多具体分法。变换角度是形成新的思路的有效途径能够生成相关联的新方法能够拓展思维的视野。2.4从方法到方法——思路4关注图2中D、F分别是AB、BC的中点和⊿DBF的面积是⊿ABC的面积的1/4在小学生没有三角形的中位线定理作支撑的情况下可生成取各个底边的中点相互连接的切分方法（图3）还可以生成关于三角形中位线的探究问题。一种解题方法可以生成另一条思路、另一种方法当一题有多解时先让学生试解再组织讨论或评析学生的普通解法引导未发现其他方法的同学借鉴思路或关注普通方法所得解答中的特点去发现“新”的方法例如由本例的思路1生成思路2与思路3、思路2生成思路4可以引导学生在合作与分享中生成新思路发现新方法。2.5置疑与探究中生成方法——思路5方法1、2、3是对底边进行分割能对高h进行分割吗？如果拆分高h底边的位置和长度就会发生变化。虽然单独拆分高h行不通但可以启示同时拆分底边a和高h。这一思路与思路4相关联且殊途同归得到同样的分切图形。大三角形的面积为ah÷2把底边a和高h分别平分得到的小三角形的面积为：a/2×h/2÷2＝ah/4÷2正好是大三角形面积的1/4。先作平行于AB的DE线段垂直平分高h得到⊿ADE再平分底边BC得到点F连接D和F、E和F可得另外三个小三角形（图3）。图3中的⊿DBF、⊿EFC的面积为⊿ABC面积的1/4分别为⊿DCB、⊿EBC面积的一半；所以⊿DCB、⊿EBC面积为⊿ABC面积的一半⊿DCB、⊿ACD面积相等以C为顶点⊿DCB和⊿ACD的底边AD与DB相等D为AB的中点同理E为AC的中点。⊿ADE、⊿DFE的面积之和为⊿ABC面积的一半⊿ADE和⊿DFE同底等高与⊿DBF、⊿EFC面积相等且等高故这四个面积相等的等高三角形的底边等长即DE等于BF与FC等于AB的一半。一般说来“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者四门博士）《春秋谷梁传疏