“牛吃草”问题.doc

“牛吃草”问题世界著名的大科学家牛顿历来喜欢研究运动他在运动和变化中考察问题．他著的《普通算术》一书中曾提出一个有趣的数学问题：12头牛4周吃草的生长速度不变．问需要多少头牛才能在18周吃完24公顷的牧草．这类问题被人们称之为牛顿的“牛吃草”问题．下面我们共同讨论一下这类题的特点及解法．例1牧场上有一片牧草供24头牛6周吃完供18头牛10周吃完．假定草的生长速度不变那么供19头牛需要几周吃完？分析：这个问题的难点在于草一边被牛吃掉一边仍在生长也就是说牧草的总量随时间的增加而增加．但不管牧草怎么增长牧场原有草量与每天（或每周）新长的草量是不变的因此必须先设法找出这两个量来．我们可以先画线段图（如图5—1）．从上面图对比可以看出18头牛吃10周的草量比24头牛吃6周的草量多多出的部分恰好相当于4周新生长的草量．这样就可以求出草的生长速度有了每周新长的草量就可以用24头牛吃6周的草量减去6周新长的草量或用18头牛吃10周的草量减去10周新长的草量得到牧场原有的草量．有了原有的草量和新长的草量问题就能很顺利求解了．解：设1头牛吃一周的草量的为一份．（1）24头牛吃6周的草量24×6=144（份）（2）18头牛吃10周的草量18×10=180（份）（3）（10-6）周新长的草量180-144=36（份）（4）每周新长的草量36÷（10-6）=9（份）（5）原有草量24×6-9×6=90（份）或18×10-9×10=90（份）（6）全部牧草吃完所用时间不妨让19头牛中的9头牛去吃新长的草量剩下的10头牛吃原有草量有90÷（19-9）=9（周）答：供19头牛吃9周．例220匹马72天可吃完32公顷牧草16匹马54天可吃完24公顷的草．假设每公顷牧草原有草量相等且每公顷草每天的生长速度相同．那么多少匹马36天可吃完40公顷的牧草？分析：同例1一样解这个题的关键在于求出每公顷每天新长的草量及每公顷原有草量即可．设1匹马吃一天的草量为一份．20匹马72天吃32公顷的牧草相当于一公顷原有牧草加上72天新长的草量可供20×72÷32=45匹马吃一天即每公顷原有牧草加上72天新长的草量为45份．同样由16匹马54天吃24公顷的草量知每公顷原有牧草加上54天新长的草量为16×54÷24=36份．这两者的差正好对应了每公顷72-54=18天新长的草量于是求得每公顷每天新长的草量从而求出每公顷原有草量这样问题便能得到解决．解：（1）每公顷每天新长的草量（20×72÷32-16×54÷24）÷（72-54）=0.5（份）（2）每公顷原有草量20×72÷32-0.5×72=9（份）或16×54÷24-0.5×54=9（份）（3）40公顷原有草量9×40=360（份）（4）40公顷36天新长的草量0.5×36×40=720（份）（5）40公顷的牧草36天吃完所需马匹数（360+720）÷36=30（匹）答：30匹马36天可吃完40公顷的牧草．例3有三辆不同车速的汽车同时从同一地点出发沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这三辆车分别用3分钟5分钟8分钟分别追上骑车人．已知快速车每小时54千米中车速每小时39．6千米那么慢车的车速是多少（假设骑车人的速度不变）？分析根据题意先画出线段图如图5—2．从图5—2可以看出要求慢车的车速只要求出慢车行8分钟的路程.慢车8分钟的路程等于路程ab加上路程be．ab表示三车出发时骑车人已骑出的一段距离这段距离用快车行3分钟的路程ac减去骑车人行3分钟的路程bc得到骑车人3分钟行的路程是多少关键求出骑车人的速度由图中可以看出中速车行5分钟的路程ad减去快车行3分钟的路程ac恰好为路程cd路程cd是骑车人5-3=2分钟行的路程于是求出了骑车人的速度．be表示骑车人8分钟行的路程也就容易求出这样慢车的速度便可以迎刃而解了．解：快车速度54千米／小时=900米／分钟中速车速度39．6千米／小时=660米／分钟（1）骑车人的速度（660×5-900×3）÷（5-3）=300（米／分钟）（2）三车出发时骑车人距三车出发地的距离900×3-300×3=1800（米）（3）慢车8分钟行的路程1800+300×8=4200（米）（4）慢车的车速一般说来“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及故谓师为师资也”。这儿的“师资”其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形但仍说不上是名副其实的“教师”因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。4200÷8=525（米／分）=31.5千米／小时答：慢车的车速为每小时31.5千米．