高三数学高考(理)总复习系列课件：2.7 对数与对数函数人教大纲版教材 高三数学高考(理)总复习系.ppt

要点梳理
1.对数的概念
（1）对数的定义
如果ax=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对
数，记作，其中____叫做对数的底数,____
叫做真数.（2）几种常见对数

2.对数的性质与运算法则
（1）对数的性质
①=_____;②logaaN=_____(a>0且a≠1).（2）对数的重要公式
①换底公式:(a,b均大于零且不等
于1)；
②推广logab·logbc·logcd=
______.(3)对数的运算法则
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
①loga(MN)=______________;
②=______________;
③logaMn=___________(n∈R);
④3.对数函数的图象与性质

4.反函数
指数函数y=ax与对数函数_________互为反函数，它
们的图象关于直线_________对称.基础自测
1.（2009·湖南理）若log2a<0,则（）
A.a>1,b>0B.a>1,b<0
C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0
解析∵log2a<0=log21,∴0<a<1.
∵∴b<0.2.已知log7[log3(log2x)]=0，那么等于（）
A.B.C.D.
解析由条件知log3(log2x)=1,∴log2x=3,
∴x=8,∴3.若a=0.32,b=log20.3,c=20.3,则a,b,c的大小关系是
（）
A.a<b<cB.a<c<b
C.b<c<aD.b<a<c
解析a=0.32∈(0,1),b=log20.3<0,
c=20.3∈(1,+∞),∴b<a<c.4.设a>1，函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值
与最小值之差为则a等于（）
A.B.2C.D.4
解析根据已知条件loga2a-logaa=
整理得：loga2=则即a=4.5.函数的定义域是_______.
解析要使有意义
需使
∴0<3x-2≤1,即<x≤1,
∴的定义域为

题型一对数的化简与求值
【例1】(1)化简:
(2)化简:
(3)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.
(1)、（2）为化简题目，可由原式联
想指数与对数的运算法则、公式的结构形式来寻
找解题思路.（3）可先求出2m+n的值，再用公式
来求a2m+n的值.
解(1)原式=

(2)

(3)方法一∵loga2=m,∴am=2.
∵loga3=n,∴an=3.
故a2m+n=(am)2·an=4×3=12.
方法二∵loga2=m,loga3=n,（1）在对数运算中,先利用幂的运算把
底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂
的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在
运算中要注意化同底和指数与对数互化.
(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的
恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.知能迁移1(1)化简(log43+log83)(log32+log92)=
________.
解析(2)已知3a=5b=A,且则A的值是（）
A.15B.C.D.225
解析∵3a=5b=A,∴a=log3A,b=log5A,
∴=logA3+logA5=logA15=2,
∴A2=15,∴A=或A=（舍）.题型二比较大小
【例2】(2009·全国Ⅱ理,7)设a=log2π,
则（）
A.a>b>cB.a>c>b
C.b>a>cD.b>c>a
(1)引入中间量如“1”或“”比较.
(2)利用对数函数的图象及单调性.
解析∵a=log2π>1,
∴a>b,a>c.
∴b>c,∴a>b>c.探究提高比较对数式的大小，或证明等式问题是
对数中常见题型，解决此类问题的方法很多,①当底
数相同时可直接利用对数函数的单调性比较;②若底
数不同，真数相同,可转化为同底（利用换底公式）
或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，
不同真数，则可利用中间量进行比较.知能迁移2比较下列各组数的大小.
(1)
(2)log1.10.7与log1.20.7;
(3)已知比较2b,2a,2c的大
小关系.
解（1）∵<log31=0,
>log51=0,
∴(2)方法一∵0<0.7<1,1.1<1.2,
∴0>log0.71.1>log0.71.2,

即由换底公式可得log1.10.7<log1.20.7.
方法二作出y=log1.1x与
y=log1.2x的图象.
如图所示两图象与x=0.7相
交可知log1.10.7<log1.20.7.
(3)∵为减函数，

∴b>a>c,而y=2x是增函数，∴2b>2a>2c.题型三对数函数的性质
【例3】已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1)，
如果对于任意x∈[3，+∞)都有|f(x)|≥1成立