高中数学 2.3 等差数列的前n项和 第2课时课件 新人教A版教材必修5 课件.ppt

第2课时等差数列前n项和的性
1．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…(k∈N＋)是等差数列，其公差等于 .
2．若在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在 ；若在等差数列{an}中，a1<0，d>0，则Sn存在 ．n(an＋an＋1)
1．在等差数列{an}中，S10＝120，a2＋a9的值为()
A．12 B．24
C．36 D．48答案：B2．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：∵S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.
答案：B3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于()
A．12 B．18
C．24 D．42
解析：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，∴有S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，∴2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)．整理得S6＝3S4－3S2＝3×10－3×2＝24.
答案：C4．等差数列{an}中，公差d＝ ，前100项和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.答案：105．数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6.
(1)从第几项开始有an<0；
(2)求此数列的前n项和的最大值．[点评]巧用性质解题，使计算化繁为简．迁移变式1(1)等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＝30，a5＋a6＋a7＋a8＝80，则a9＋a10＋a11＋a12＝________.
(2)一个等差数列前n项和为25，前2n项和为100，求其前3n项的和．
解析：由题意知S4＝30，S8－S4＝80，∵S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，
∴30、80、S12－S8成等差数列．
∴S12－S8＝130.
而S12－S8＝a9＋a10＋a11＋a12，
∴a9＋a10＋a11＋a12＝130.(2)Sn＝25，S2n＝100.设S3n＝x
由于Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列
∴25,100－25，x－100成等差
∴(x－100)＋25＝2(100－25)
∴x－100＋25＝150
∴x＝225∴S3n＝225
答案：(1)130(2)225[分析]条件是前n项和的比值，而结论是通项的比值．所以，需要将通项的比值转化为前n项和的比值．[点评]恰当的应用等差中项可以简化解题过程．答案：9
[例3]在等差数列{an}中，S12＝354，在这12项中S偶∶S奇＝32∶27，求公差d.
[分析]可以通过a1与d来求；也可以考虑奇数项与偶数项和的性质．答案：(1)2(2)B
[例4]等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项之和最大，并求此最大值．解法3：∵S17＝S9，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0.
∴a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0.
∵a1＝25>0，∴a13>0，a14<0.
∴S13最大，最大值为169.[点评]综合上面的方法我们可以得到求数列前n项和的最值问题的方法：(1)运用配方法转化为二次函数，借助函数的单调性以及数形结合，从而使问题得解；(2)通项公式法：求使an≥0(或an≤0)成立的最大n即可．这是因为：当an<0时，Sn<Sn－1，即单调递减．迁移变式4已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通项an；
(2)求{an}前n项和Sn的最大值．
1．等差数列的性质
(1)等差数列{an}中，依次k项的和仍组成等差数列，即a1＋a2＋…＋ak，ak＋1＋ak＋2＋…＋a2k，a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k，…仍为等差数列．
(2)由等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋ 可知若数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn＋C(A，B，C∈R)，若{an}为等差数列，则C＝0；若C＝0，则{an}为等差数列．2．等差数列的前n项和的最值
解决等差数列的前n项和的最值的基本思想是利用前n项和公式与函数的关系来解决问题，即：
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意的是：n∈N*.
(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取最值．(3)通项法：当a1>0，d<0时，n为使an≥0成立的最大的自然数时，Sn最大．这是因为：当an>0时，Sn>Sn－1，即递增；当an<0时，Sn<Sn－1，即递减．
类似地，当a1<0，d>0时，则n为使an≤0成立的最大自然数时，Sn最小．