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等价转化思想在方程、不等式与函数中的应用
淞浦中学王哲峰
教学目标：
（1）学会把不等式的恒成立问题和方程有解问题转化为函数的最值问题或值域加以解决。（2）体会函数、方程及不等式之间的相互联系，感悟等价转化思想的重要性，体验并运用等价转化的数学思想方法解决简单的数学问题。
（3）逐步学会并提高运用等价转化的思想方法解决问题的能力。
教学重点：通过参数分离求不等式恒成立问题和方程有解问题中参数范围。
教学难点：理解问题间的等价性及如何转化。
教学过程：
一、引入课题
我们已经学习了哪些常见的数学思想方法呢？引例：（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围
（2）关于的方程在区间上有根，求实数的取值范围

二、课题演练
例题1
已知函数（1）若在上恒成立，求的取值范围。
（2）若在上值域是，求的取值范围。
解题反思：通过做这道题我们对等价转化思想有没有更进一步的理解？
例题2对一切实数不等式恒成立，则实数的取值范围是。
解题反思：通过做这道题我们对参数分离有了什么新的认识
例题3若，则满足的取值范围是。
解题反思：本题与前几题的思想是否统一？
三、课堂小结：
1、本节课主要解决了哪些数学问题？（1）不等式恒成立问题；（2）方程有解问题（3）解不等式问题
2、本节课体验了哪些常见的数学思想方法？数形结合，等价转化
3、常见的等价转化关系在不等式、方程与函数中运用如下：（1）时恒成立时（2）时有解的值域}（3）求的解集图象在图象上方的部分所对应的点的横坐标的集合4、主要转化手段：参数分离
四、课堂演练与课后习题：
设f(x)=x2-ax+2,当x[1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。
设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为．
已知函数在内至少有一个零点，试求实数的取值范围。
若函数满足：①在定义域D内是单调函数；②存在，使在上的值域为，那么叫做对称函数。现有是对称函数，则实数的取值范围是
五、学生分析与教学设计：
1、学生分析：
高三（2）班是文科班，几经调整组建了现在的班级团队。该班学生的数学学习情况差异明显，但相对而言学生的数学基础知识与数学能力普遍较理科班弱，尤其是大多数女生更是如此。由于文科生数学态度较认真、勤恳，愿意花时间去学，故要求教师在教学方法上更加细致、有耐心，有信心。在选题上更加注重科学性、针对性、有效性、典型性。教师帮助学生进行知识的梳理与方法的总结，帮助学生树立学习数学的自信心。
数学思想方法较之数学基础知识而言，它有着较高的层次与地位。数学知识是教学内容，可以用文字与符号来记录与描述。而数学思想方法只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理、解决。这对文科生而言是个学习的困难，针对学生的数学学习现状，提出进行数学思想方法的专题教学是符合学习需要的。为了帮助学生更好的学习，设计将“等价转化”的数学思想动态的展示出来，会使“等价转化”的学习更加具体、通俗易懂，通过学习体验，该数学思想方法会更加深入人心，更加直观化，这对快速提升学习成绩会起到举足轻重的作用。
2、教学设计：
内容分析：
函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程不等式的问题往往需要函数帮忙，解决函数的问题也往往需要方程和不等式的帮助，因此能借助于函数、方程、不等式进行等价转化与化归可以将问题化繁为简，化难为易，进而解决问题。等价转化是重要的数学思想，在解决数学问题的过程中可以说无处不在，所以等价转化思想的掌握情况是判断一个学生是否有基本的数学素养的重要评价依据。同时借助函数、方程、不等式进行等价转化解决问题也是近几年高考热点，比如：
(2014文)11.若，则满足的取值范围是。
(2013文)13.设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为．
都是把不等式问题转化为函数问题进而解决。
设计思路：
在第一轮复习中学生已经复习过这样带参数的不等式恒成立问题，方程有解问题求参数范围，但没有从思想方法上统一进行提炼。所以本节课的主要目的是通过做习题，提炼出等价转化这样的思想方法，并应用到解题中，甚至生活中去。在习题的选择上，没有追求全面，而是不等式恒成立问题和方程有解问题各举几例——因为本节课的重点并不是归纳某种题型，而是通过解决问题提炼出数学思想，并辩证的看待解决问题过程中方法、手段的适用性。
例题中，例1是简单的分离参数后把不等式恒成立问题转化为函数最值问题，把方程有解问题转化为函数值域问题。例2是分离参数方法的反例，让学生体会到，等价转化并非只有一个方向，分离参数也不是万能的手段。例3进一步说明，分离参数也是有前提，有时不能分离参数，就不分离。例4是让同学们更加深刻的理解等价转化思想的意义，不能只看问题的原始形式，等价转化为另一种表现形式后问题可能就引刃而解了。最后由学生总结提炼本节课所用到的思想方法，达到本节课