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方程思想在函数应用中的体现
陕西汉中市405学校侯有岐723312
一、方法指导
方程思想，就是从问题的数量入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型------方程或方程组，通过求解或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.
运用方程观点解决问题主要从以下四个方面入手：一是把问题中对立的已知与未知通过建立相等关系统一在方程中，通过解方程解决；二是从分析问题的结构入手，找出主要矛盾，抓住某一个关键变量，将等式看成关于这个主变元（常称为主元）的方程，利用方程的特征解决；三是根据几个变量间的关系，符合某些方程的性质和特征（如利用根与系数关系构造方程等），通过研究方程所具有的性质和特征解决；四是在解决数学中常见数学模型的问题时，经常转化为方程问题去解决.
方程思想是一种重要的数学思想，贯穿于中学数学学习的全过程，处于统领地位.涉及方程思想的问题历来是高考命题的热点，下面举例说明方程思想在函数应用中的体现.
二、典题例析
例1设集合和都是自然数集合，映射把集合中的元素映射到集合中的元素，则在映射下，象20的原象是（）
.2.3.4.5
分析：已知映射、象，求原象.此题从表面看与方程没有什么联系，实际上已知象20，求原象是何值？是一种方程的关系.运用方程的思想方法去解决，是一种较佳的解法.
解：依题意列方程=20，尝试实验解得，应选.
点评：此题用方程的思想方法来求解，思路比较清晰自然，应重视.象唯一，原象不一定唯一，但此题是唯一的.
例2设，求.
分析：本题若是先求，然后求，思路清晰，但是比较难求，也超出了新教材的要求.如果发现反函数的定义域与原函数值域之间的关系，就可知道,求就是求方程中的.
解：依题意，解方程，即，解得，
故1，所以应填1.
点评：把求反函数值的问题转化为求指数方程的解，这样做观点高，解法也简便.
例3已知集合
与集合，若为单元素集合，求实数的取值范围.
分析：直接求解似乎无从下手，但观察题设条件，联想到方程的根与函数的零点性质，运用这些性质可简捷求解.
解：为单元素集，等价于方程组，在内有唯一解，
消去得，则此方程在区间内有一根或有两相等实根.
设，的图像与轴相切于区间内或与轴相交且只有一个交点在区间内，于是
或或.
综上所述，实数的取值范围是.
点评：掌握方程与函数之间的关系，利用数形结合将一元二次方程根的分布的相关问题转化成等价的方程（或不等式）组，从而解决相关问题.
例4批零文具店规定，凡购买铅笔51支以上（含51支）按批发价结算，批发价每售60支比零售60支少1元.现有班长小李来购买铅笔,若给全班每人买1支铅笔，则必须按零售价结算，需用元（）,但若多买10支，则可按批发价结算，恰好也是元，问该班共有多少名学生？
分析：许多数学应用题都要求我们求出一个（或几个）量来，或求出一个（或几个）量以后就可以导致问题的最终解决，解方程（组）就是一种最有效的工具.
解：设全班共有人，则零售价为元，批发价为元，由题设有
，解得.
又均为正整数，经验算可得，当时，.
故该班共有学生50名.
点评：解决问题的关键是正确理解题意，设好参数，把文字语言转化为代数式，应用方程思想巧妙解决，思路清晰，解法自然.

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