椭圆中弦的中点问题.docx

椭圆中弦的中点问题
【教学目标】
掌握椭圆中弦的中点问题的解决方法.
通过弦中点问题的研究，进一步提升分析、归纳、推理等能力.
在解决椭圆的弦的中点问题的过程中，感受数学的对称美.
【教学重点】
教学重点：弦的中点问题的多种方法灵活运用.
教学难点：直线、椭圆方程、弦中点之间的关系.
【教学过程】
复习引入
已知直线方程与曲线方程交于两点，设中点为，我们有，圆锥曲线中弦的中点问题高考数学中的热点问题今天一起先来研究椭圆中弦的中点问题。
二、问题探究
【问题一】:已知椭圆的方程为.
（1）则以为中点的弦所在直线方程为；
（2）该椭圆中斜率为的平行弦的中点轨迹方程为；
（3）过该椭圆外一点作直线交椭圆于两点，求弦的中点的轨迹方程.
若将改为，求弦的中点的轨迹方程方法如下，请你谈谈对此解法的想法？
（点差法）设弦中点.
则有.两式相减得.
所以，
因为，所以，有.
化简可得：(在已知椭圆内）

【方法总结】
弦的中点问题的两种处理方法：1、韦达定理；2、点差法（设点作差）
【问题二】：已知椭圆的方程，设直线与椭圆C相交于两点，使两点关于直线对称，求的值.
【思考题】在直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和.设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由.
三、归纳小结
椭圆中弦的中点问题常用方法：
联立方程，利用韦达定理；
点差法（设点，作差）