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浅谈放缩法在不等式证明中的应用篇一：《放缩法在不等式的应用》论文放缩法在不等式的应用所谓放缩法确实是利用不等式的传递性对照证标题的进展合情合理的放大和缩小的过程在使用放缩法证题时要留意放和缩的“度”否那么就不能同向传递了此法既能够单独用来证明不等式也能够是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式因其思维跨度大、构造性强需要有较高的放缩技巧而充满考虑性和挑战性能全面而综合地调查学生的潜能与后继学习才能因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类征询题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的构造深化剖析其特征抓住其规律进展恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一.“添舍”放缩通过对不等式的一边进展添项或减项以到达解标题的这是常规思路。例1.设ab为不相等的两正数且a－b＝a－b求证1＜a＋b＜3322222224。证明：由题设得a＋ab＋b＝a＋b因而（a＋b）＞a＋ab＋b＝a＋b又a＋b＞0得a＋b＞1又ab＜1（a＋b）而（a＋b）＝a＋b＋ab＜a＋b＋1（a＋b）即3（a＋b）＜a＋b因而a＋b＜42222故有1＜a＋b＜。例2.已经明白a、b、c不全为零求证：a?ab?b?b2?bc?c2?c2?ac?a2＞3（a?b?c）222a?ab?b?（a?b）?b2＞（a?b）?a?≥a?同理22证明：由于b?bc?c2＞b?cc?ac?a2＞c?。2a?ab?b?b?bc?c?c2?ac?a＞3（a?b?c）2因而二.分式放缩一个分式假设分子变大那么分式值变大假设分母变大那么分式值变小一个真分式分子、分母同时加上同一个正数那么分式值变大利用这些性质可到达证标题的。例3.已经明白a、b、c为三角形的三边求证：1＜a＋b＋c＜2。a?ca?b证明：由于a、b、c为正数因而b＞＞＞因而a＋b＋c＞abc＋＋＝1又abc为三角形的边a＜2aa为真分数那么b?ca?b?c同理故b+c＞a那么b＜2bc＜2ca?ca?b?ca?ba?b?c故a＋b＋c＜＋＋?2.a＋b＋c＜2。a?ca?b综合得1＜三.裂项放缩假设欲证不等式含有与自然数n有关的n项和可采纳数列中裂项求和等方法来解题。例4.已经明白n∈N*求1?12?1???1n＜2n。证明：由于1n?2n?n＜2n?n?1?2（n?n?1）那么1?12?13???证毕。1n＜1?2（?1）?2（3?2）???2（n?n?1）?2n?1＜2nn(n?1)(n?1)2例5.已经明白n?N且an??2?2?3???n(n?1)求证：对?an?22*所有正整数n都成立。证明：由于n(n?1)?n2?n因而an?1?2???n?n(n?1)2又n(n?1)?n(n?1)2n(n?1)351?22?32n?1(n?1)2??????????因而an?综合知结论成立。2222222例6设数列{an}满足a1?2an?1?an?1(n?12?).（Ⅰ）证明an?2n?1对一切正整数an（Ⅱ）令bn?n成立；题）ann(n?12?)断定bn与bn?1的大小并说明理由（04年重庆卷理科第（22）简析此题有多种放缩证明方法这里我们对（Ⅰ）进展减项放缩有法1用数学归纳法（只考虑第二步）a2k?12?ak?2?1?2k?1?2?2(k?1)?1；2ak法2a2n?12?an?2?1222?a?a?2k?12?n?1.?a?2k?1kn2an那么an22?a12?2(n?1)?an?2n?2?2n?1?an?2n?1.利用已经明白的公式或恒不等式把欲证不等式变形后再放缩可获简解。2n(n?1)(n?1)例7设Sn??2?2?3???n(n?1).求证?Sn?.22解析此数列的通项为ak?k(k?1)k?12?n.n1k?k?11n?k?(k?1)??k???k?Sn??(k?)222k?1k?12n(n?1)n(n?1)n(n?1)即?Sn???.2222注：①应留意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式?a?b假设放成22(n?1)(n?3)(n?1)就放过“度”了！(k?1)?k?1那么得Sn??(k?1)??22k?1n②按照所证不等式的构造特征来选取所需要的重要不等式这里a???an?a1?an?1?11n???a1ann2a12???ann其中n?23等的各式及其变式公式均可供选用。例8已经明白ab为正数且（88年全国联赛题）简