浅谈放缩法在不等式证明中的应用.doc

浅谈放缩法在不等式证明中的应用篇一：《放缩法在不等式的应用》论文放缩法在不等式的应用所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一.“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1.设a，b为不相等的两正数，且a－b＝a－b，求证1＜a＋b＜3322222224。证明：由题设得a＋ab＋b＝a＋b，于是（a＋b）＞a＋ab＋b＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜1（a＋b），而（a＋b）＝a＋b＋ab＜a＋b＋1（a＋b），即3（a＋b）＜a＋b，所以a＋b＜42222，故有1＜a＋b＜。例2.已知a、b、c不全为零，求证：a?ab?b?b2?bc?c2?c2?ac?a2＞3（a?b?c）222a?ab?b?（a?b）?b2＞（a?b）?a?≥a?，同理22证明：因为b?bc?c2＞b?c，c?ac?a2＞c?。2a?ab?b?b?bc?c?c2?ac?a＞3（a?b?c）2所以二.分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：1＜a＋b＋c＜2。a?ca?b证明：由于a、b、c为正数，所以b＞＞＞，所以a＋b＋c＞abc＋＋＝1，又a，b，c为三角形的边，a＜2aa为真分数，则b?ca?b?c，同理故b+c＞a，则b＜2bc＜2c，a?ca?b?ca?ba?b?c故a＋b＋c＜＋＋?2.a＋b＋c＜2。a?ca?b综合得1＜三.裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知n∈N*，求1?12?1???1n＜2n。证明：因为1n?2n?n＜2n?n?1?2（n?n?1），则1?12?13???，证毕。1n＜1?2（?1）?2（3?2）???2（n?n?1）?2n?1＜2nn(n?1)(n?1)2例5.已知n?N且an??2?2?3???n(n?1)，求证：对?an?22*所有正整数n都成立。证明：因为n(n?1)?n2?n，所以an?1?2???n?n(n?1)，2又n(n?1)?n(n?1)，2n(n?1)351?22?32n?1(n?1)2??????????所以an?，综合知结论成立。2222222例6设数列{an}满足a1?2,an?1?an?1(n?1,2,?).（Ⅰ）证明an?2n?1对一切正整数an（Ⅱ）令bn?n成立；题）ann(n?1,2,?)，判定bn与bn?1的大小，并说明理由（04年重庆卷理科第（22）简析本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有法1用数学归纳法（只考虑第二步）a2k?12?ak?2?1?2k?1?2?2(k?1)?1；2ak法2a2n?12?an?2?1222?a?a?2,k?1,2,?,n?1.?a?2k?1kn2an则an22?a12?2(n?1)?an?2n?2?2n?1?an?2n?1.四.利用重要不等式放缩1.均值不等式利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。2n(n?1)(n?1)例7设Sn??2?2?3???n(n?1).求证?Sn?.22解析此数列的通项为ak?k(k?1),k?1,2,?,n.n1k?k?11，n?k?(k?1)??k???k?Sn??(k?)，222k?1k?12n(n?1)n(n?1)n(n?1)即?Sn???.2222注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式?a?b，若放成22(n?1)(n?3)(n?1)，就放过“度”了！(k?1)?k?1则得Sn??(k?1)??22k?1n②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里a???an?a1?an?1?11n???a1ann2a12???ann其中，n?2,3等的各式及其变式公式均可供选用。11???1，试证：对每一个n?N，(a?b)n?an?bn?22n?2n?1.ab例8已知a,b为正数，且（88年全国联赛题）简析由1111ab??1得ab?a?b，又(a?b)(?)?2???4，故ababba0n1n?1rn?rrnnab?