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浅谈放缩法在不等式证明中的应用

篇一：《放缩法在不等式的应用》论文
放缩法在不等式的应用
所谓放缩法确实是利用不等式的传递性，对照证标题的进展合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要留意放和缩的“度”，否那么就不能同向传递了，此法既能够单独用来证明不等式，也能够是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满考虑性和挑战性，能全面而综合地调查学生的潜能与后继学习才能，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类征询题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的构造，深化剖析其特征，抓住其规律进展恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一.“添舍”放缩
通过对不等式的一边进展添项或减项以到达解标题的，这是常规思路。例1.设a，b为不相等的两正数，且a－b＝a－b，求证1＜a＋b＜
3
3
2
2
2
2
2
2
2
4。证明：由题设得a＋ab＋b＝a＋b，因而（a＋b）＞a＋ab＋b＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又
ab＜
1（a＋b），而（a＋b）＝a＋b＋ab＜a＋b＋1（a＋b），即3（a＋b）＜a＋b，因而a＋b＜42
2
2
2
，
故有1＜a＋b＜
。
例2.已经明白a、b、c不全为零，求证：
a?ab?b?b2?bc?c2?c2?ac?a2＞3（a?b?c）
2
22
a?ab?b?（a?b）?b2＞（a?b）?a?≥a?，同理
22
证明：由于
b?bc?c2＞b?c，c?ac?a2＞c?。2
a?ab?b?b?bc?c?c2?ac?a＞3（a?b?c）
2
因而
二.分式放缩
一个分式假设分子变大那么分式值变大，假设分母变大那么分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数那么分式值变大，利用这些性质，可到达证标题的。
例3.已经明白a、b、c为三角形的三边，求证：1＜
a＋b＋c＜2
。
a?ca?b
证明：由于a、b、c为正数，因而
b＞＞＞，
因而
a＋b＋c＞abc＋＋＝1，又a，b，c为三角形的边，a＜2aa为真分数，
那么
b?ca?b?c，同理
故b+c＞a，那么
b＜2bc＜2c
，
a?ca?b?ca?ba?b?c
故
a＋b＋c＜＋＋?2.
a＋b＋c＜2
。
a?ca?b
综合得1＜
三.裂项放缩
假设欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采纳数列中裂项求和等方法来解题。
例4.已经明白n∈N*，求1?
12
?
1???
1n
＜2n。
证明：由于
1n
?
2n?n
＜
2n?n?1
?2（n?n?1），那么1?
12
?
13
?
??
，证毕。
1n
＜1?2（?1）?2（3?2）???2（n?n?1）?2n?1＜2n
n(n?1)(n?1)2
例5.已经明白n?N且an??2?2?3???n(n?1)，求证：对?an?
22
*
所有正整数n都成立。
证明：由于
n(n?1)?n2?n，因而an?1?2???n?
n(n?1)，2
又
n(n?1)?
n(n?1)
，2
n(n?1)351?22?32n?1(n?1)2
??????????因而an?，综合知结论成立。2222222
例6设数列{an}满足a1?2,an?1?an?
1
(n?1,2,?).（Ⅰ）证明an?2n?1对一切正整数an
（Ⅱ）令bn?n成立；题）
ann
(n?1,2,?)，断定bn与bn?1的大小，并说明理由（04年重庆卷理科第（22）
简析此题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进展减项放缩，有法1用数学归纳法（只考虑第二步）a2k?1
2
?ak?2?
1
?2k?1?2?2(k?1)?1；2ak
法2a
2
n?1
2?an?2?
1222
?a?a?2,k?1,2,?,n?1.?a?2k?1kn2
an
那么an
2
2
?a12?2(n?1)?an?2n?2?2n?1?an?2n?1.

利用已经明白的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。
2
n(n?1)(n?1)例7设Sn??2?2?3???n(n?1).求证?Sn?.22
解析此数列的通项为ak
?k(k?1),k?1,2,?,n.
n
1k?k?11，n
?k?(k?1)??k???k?Sn??(k?)，
222k?1k?1
2
n(n?1)n(n?1)n(n?1)即?Sn???.2222
注：①应留意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式?a?b，假设放成
2
2
(n?1)(n?3)(n?1)，就放过“度”了！(k?1)?k?1那么得Sn??(k?1)??
22k?1
n
②按照所证不等式的构造特征来选取所需要的重要不等式，这里
a???an
?a1?an?1?
11n???a1an
n
2
a12???an