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NatureForumChineseJournalofNatureVo1．30No．1

对称与晶体学*

施倪承①李国武②

①教授，②副教授，中国地质大学，北京100083

*国家自然科学基金资助项目(No．40672030，40472025)

关键词对称晶体学空间群准晶体无公度相平面构成

对称是关于由局部构筑整体时必须遵循的基本法则。事物的美感是由局部与整体之间的和谐和协调来体现的。
对称规律在晶体学中得到了淋漓尽致的发挥。在传统晶体学中空间群理论对于现代晶体学中晶体结构的测定仍有
指导意义。讨论了准晶体及无公度相的对称特点。探讨了将晶体学中的平面群理论运用于艺术领域中平面构成设
计的可能性。

1引言2晶体学中的对称性

古希腊时代的亚里斯多德就对对称给出了十分经在晶体学中，对称概念仅指物体在空间中的变换性
典的定义，他认为：在对称的概念中，由局部构成之整质而言，伐因斯坦给出的对称性定义为：对称性是在描
体，不是单元的堆积，而是一个和谐的实体。述物体的变量的空间中物体经过某种变换后的不变
在这个定义中，亚里斯多德“故意”地对局部这个概性⋯。如果我们感到这个定义令人费解的话，则费多洛
念未加说明，这样就使这个定义保持了它的普遍性。这夫的定义似乎更好理解一些。他认为对称性是：几何图
里指的局部可以是物体、设计的图案、声音、颜色及其他形使自已的各个部分重合的性质，或者更确切地说，是
具有重复样式的事物。根据亚里斯多德的定义，可以认几何图形在不同的位置上与最初位置重合的性质。对
为对称是关于由局部来构筑整体时必须遵循的基本法称规律在晶体学中得到了淋漓尽致的发挥。
则。在自然界中这些基本法则往往可用数学中的群论晶体学中的对称图形是通过对称操作来实现的。
我们曾将对称操作分成两种类型，即点对称操作及平移
来加以规定和阐述，无论在科学或艺术领域中，恰恰是
对称操作。点对称操作包括旋转，反映和反伸；平移对
此种局部与整体之间的协调和和谐才体现出事物的美
称操作则包括有公度平移及无公度平移[2l。
感来。
晶体学中各种对称操作如下：
如同哲学中的矛盾统一律一样，对称规律也是自然
(1)反映。一个点或者一个基本图案通过反映进行
科学中最高层次的基本法则之一。它不仅贯穿于从基
重复的操作称为反映。这正如用一面镜子来反映一个
本粒子到宇宙天体的不同的物质世界的各个领域，而且
影像一样，因此反映平面称为镜面。图1表示的是二硅
在艺术、社会领域的各方面都有完美的体现。对于矛盾
铁矿(Fesi2)的晶体结构(见彩插四)。图中绿色小球表
统一律，需要探讨的是对立面的双方是如何从对立、斗
示铁原子位置，红色小球表示硅原子位置。上下两个用
争走向同一，而在对称规律中事物的整体和局部之间存
黑实线构成的平行四边形及其晶棱围成的平行六面体
在的是互相包容的关系(即在对称群论中的封闭性)。
是晶胞轮廓线。同时这两个平行四边形即表示该晶体
在自然科学中这种局部与整体的关系往往可以通过旋结构中镜面的位置，因为镜面上下原子的分布是严格按
转、倒反、映象、复制以及平移等操作精确地加以描述，镜面对称操作排列的。
但在艺术和社会领域，此种局部与整体间的和谐和协调(2)旋转。旋转对称操作是指一个点或基本图形围
却很难用数学模式加以描述，例如我们在倾听动人的音绕一个轴的重复。经由360。角间隔的重复将使基本图
乐旋律或者在端祥妙龄少女青春容貌时，它蕴藏在内部形完全返回它原来的原始位置。180。角间隔的重复需要
的那种匀称和协调是只能意会而无法言传的。两次才能达到原始位置，因此称它为二次旋转轴，间隔

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自然杂志30卷1期自然论坛

为120。，90。，60的重复相应称为3，4，6次旋转轴。图2
为电气石的晶体结构(见彩插四)，其中黄色的多面体为
硅氧四面体，由四面体角项的氧原子及四面体中心的硅3晶体学中对称的研究历史
离子组成。绿色三角形表示硼氧三角形。由图中显然图1～图3矿物晶体结构中显示的原子排列图象是
可以看出由三个三角形组成的三方环及硅氧四面体组采用X射线衍射技术测定的。目前采用X射线衍射技
成的六方环的中心存在旋转轴。如对于硼氧三角形来术不仅可以测得所有已发现的矿物种属的晶体结构，而
说每旋转120。重复一次，因此该旋转轴就是三次旋且可以探测金属、合金、无机材料及有机小分子等各种
转轴。晶体物质，而且可以测定DNA，蛋白质，病毒等生物大
(3)反伸。一个点或基本图形通过一个点做等距离分子极其复杂的晶体结构。无论晶体物质的原子排列
投影来进行重复即称为反伸操作。反伸也可看作一种如何排列及其复杂程度都离不开前面提到的晶体学中

反映操作，前面提到的对称面的操作是通过镜面来反映一整套对称理论的建立和发展。这一整套对称理论的
的，而反伸则是