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数学中的“特殊与一般”思想方法

在数学学习的过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来的，经过证明后，成为一般性结论，又使用它们来解决相关的数学问题。在数学中经常使用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想的集中体现。由特殊到一般、由一般到特殊的过程是认识事物的基本过程，数学也不例外。所谓特殊与一般的思想包括两个方面：通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，再逐渐形成对这类事物的总体认识，发现特点，掌握规律，形成公式，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，从实践到理论，这种认识事物的过程就是由特殊到一般的认识过程；在理论指导下，用已有的规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程就是由一般到特殊的认识过程。由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程。
在数学高考中，对特殊与一般思想的考查方式主要有，利用一般的归纳法进行猜想；通过构造特殊函数、特殊数列、寻求特殊点、特殊位置关系；利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题、不确定的问题，等等。高考特别注重利用选择题、填空题的特点，重点考查由特殊到一般的思想；利用解答题的严密性，重点考查由一般到特殊的思想，或综合考查特殊与一般的思想。
一．利用特殊情形判断一般性结论是否成立
辩证法告诉我们：矛盾的一般性寓于特殊性之中。相对于一般情形而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知。解题时若能注意到问题的特殊性，进而分析考虑有无可能把待解决问题化归为某个特殊问题或极端情形，不仅是可行的，也是必要的。
例1．（2005年北京春季高考题）若不等式对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（）
ABCD
解析：当n为正奇数时，不等式为，又，所以要使不等式对任意正奇数n恒成立，应有，即；
当n为正偶数时，不等式为，又，所以要使不等式对任意正偶数n恒成立，应有。综合得，答案为（A）。
点评：本题所给的不等式对于n为正奇数和n为正偶数来说差异较大，所以需要对两种特殊情况进行分类讨论。这两种情形相对于正整数n是两个个体，回到整体后，使不等式恒成立的a必须对两个个体都成立。
例2（2004年湖北高考题）已知为非零的平面向量.甲：，（）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析：若，则必有；现在，取，则=1，但。由此可见，甲是乙的必要条件但不是充分条件，选（B）。
A
B
C
D
点评：在本题中，这对于使的每一个个体也就是整体都成立；而当成立时，存在特殊的个体使得不成立。命题对整体成立有理论依据，对整体不成立有个体不成立的反例，它们分别是数学的论证和反驳。
例3．设有四面体ABCD（如图），试证明：必存在一个顶点，
它出发的三条棱可组成一个三角形。
解析：设AB为最大棱（极端化），可证A、B两点中至少有一点为所求。
反之，则有AB≥AC+AD，AB≥BC+BD,
相加得，2AB≥AC+AD+BC+BD>2AB（矛盾），所以，命题得证。
例4．（2007年福建高考题）已知对任意实数，有，且时，，则时（）
A B
C D

解析：由可得f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，又由已知“时，”得奇函数f(x)在上单调递增，偶函数g(x)在上也单调递增。于是f(x)在上单调递增，g(x)在上单调递减，即时，选（B）。
点评：本题作为选择题也可用特殊化方法。由条件得f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，设f(x)=x,g(x)=x2，则，从而易得结果是（B）。
练习1.（2007年安徽高考题）定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（）
A0 B1 C3 D5
提示：注意到f(0)=0这一特殊结论，则。
二．将特殊问题放到更一般性的大背景下研究
将特殊问题放到更一般性的大背景下研究，称为“一般化思想方法”，即数学解题中的“以退为进”策略。它具有很强的辩证性，是通过解决比原命题更为一般的命题以最终求得原命题的解决。用一句名言来概括，就是“退一步海阔天空”。
例5．求证：
解析：这是一道由具体数表示的不等式，因其牵涉到的数较大而变得很可憎。我们不妨转而研究更为一般的一个问题：求证当n≥2,n∈N时。事实上，根据基本不等式，
成立，从而命题得证。（令n=1999）
例6．若a、b、c、d、e≥1,证明16(abcde+1)≥(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)(1+e)。
解析：直接展开右式很麻烦。设法构造一个更为一般的辅助问题：设ai≥1(i=1,2,…,n),
证明。该辅助问题很容易用数学归纳法证明。而n=5的情形即为本题结论。
例