专题四特殊与一般的思想方法.ppt

知识概要考题剖析［解析］∵a1=,an=(n≥2,n∈N)

则当n＝２时，a2===2，

当n＝３时，a3===－1，

当n＝４时，a4===，同理a5=2,a6=－1,…

所以数列{an}是一个周期数列且T＝3，

故a2007＝a3=－1.2.（2007·常州）如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线

x=－对称，那么a=________.
解法2：因为函数f(x)＝sin2x+acos2x的图象关于直线

x=－对称，所以f(x)=f(－－x)取x＝0,则f(０)=f(－)

即有a＝－1.［点评］本题主要考查三角函数的对称性问题，若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则恒有f(x)=f(2a－x)成立，但作为填空题，可以取特值进行运算.
3.（2007·湖南雅礼三月模拟）某地区的一种特色水果上市时
间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价
格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续
下跌,现有三种价格模拟函数.①f(x)=p·qx；②f(x)=px2+qx+1；
③f(x)=x(x－q)2+p.（以上三式中p,q均为常数，且q＞1）.
(Ⅰ)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什
么？
(Ⅱ)若f(0)=4,f(2)=6，求出所选函数f(x)的解析式（注：函数
的定义域是［0,5］，其中x=0表示4月1日，x=1表示5月1
日，…，以此类推）；
（Ⅲ）为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外
销，请你预测该果品在哪几个月份内价格下跌.
［解析］(Ⅰ)应选f(x)=x(x－q)2+p.
因为①f(x)=p·qx是单调函数；
②f(x)=px2+qx+1的图象不具有先升再降后升特征；
③f(x)=x(x－q)2+p中,f′(x)=3x2－4qx+q2,
令f′(x)=0，得x=q,x=,f(x)有两个零点.可以出现两个递增区间和一个递减区间.
(Ⅱ)由f(0)=4,f(2)=6得：
4.（2007·唐山）设函数fn(x)=1－x+

n∈N*

（Ⅰ）研究函数f2(x)的单调性；
（Ⅱ）判断fn(x)=0的实数解的个数，并加以证明.
［解析］（Ⅰ）f2(x)=1－x+

(x)=－1+x－x2=－(x－)2－＜0

所以f2(x)在(－∞,+∞)上单调递减.

（Ⅱ）f1(x)=1－x有唯一实数解x=1.

由f2(0)=1＞0,f2(2)=1－2+＜0，以及

f2(x)在(－∞,+∞)单调递减，
知f2(x)在(0,2)有唯一实数解，从而f2(x)在(－∞,+∞)有
唯一实数解.推断fn(x)在(－∞,+∞)有唯一实数解
当n≥2时，由fn(x)=1－x++…n∈N*，

得f′n(x)=－1+x－x2+…+x2n－3－x2n－2

若x=－1，则f′n(x)=f′n(－1)=－(2n－1)＜0
若x=0，则f′n(x)=f′n(0)=－1＜0
若x≠－1且x≠0时，

则f′n(x)=

当x＜－1时，x+1＜0,x2n－1+1＜0,f′n(x)＜0
当x＞－1时，x+1＞0,x2n－1+1＞0,f′n(x)＜0
总之f′n(x)＜0，fn(x)在(－∞,+∞)单调递减fn(0)=1，
又fn(2)=(1－2)+()+()+…+()

=－1+()22+()24+…+()22n－2

=－1－＜0
［点评］本题主要考查函数的单调性、导数及连续函数的图象与x轴的交点个数问题.用特殊的函数开路寻找到解题方法即判断函数是单调的且图象与x轴有交点，然后用一般方法来解题.
5.（2007·全国第二次大联考)已知函数y=f(x)对于任意实数x，y
都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.
(1)求f(0)的值；
(2)若f(1)=1，求f(2)，f(3)，f(4)的值，猜想f(n)的表达式并用
数学归纳法证明你的结论(n∈N*)；

(3)若f(1)≥1，求证：f()＞0(n∈N*).
［解析］
(1)令x=y=0，则f(0)=2f(0)，
∴f(0)=0
(2)∵f(1)=1，
∴f(2)=2f(1)+2=4，
f(3)=f(2)+f(1)+4=9，
f(4)=f(3)+f(1)+6=16，
猜想：f(n)=n2(n∈N*)，下面用数学归纳法证明：
当n=1时，显然成立.
假设n=k(k∈N*)时成立，则有f(k)=k2
当n=k+1时，
f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k2+1+2k=(k+1)2，结论也成立.
故f(n)=n2(n∈N*)成立
(3)证明：∵f(1)≥1，∴f(1)=2f()+≥1，

∴f()≥=＞0

可以证明f≥＞0

假设n=k(k∈N*)时结论成立.

即f≥＞0，则
∴f=2f+2××≥

∴f≥＞0

即n=k+