第二讲 相关分析与回归分析.doc

相关分析与回归分析--

第二讲相关分析与回归分析

第一节相关分析

1．1变量的相关性
1．变量的相关性分两种，一种是研究两个变量X与Y的相关性。本节只研究前者，即两个变量之间的相关性；。
2．两个变量X与Y的相关性研究，是探讨这两个变量之间的关系密切到什么程度，能否给出一个定量的指标。这个问题的难处在于“关系”二字，从数学角度看，两个变量X、Y之间的关系具有无限的可能性，一个比较现实的想法是：确立一种“样板”关系，然后把X、Y的实际关系与“样板”关系比较，看它们“像”到了什么程度，给出一个定量指标。
3．取什么关系做“样板”关系？线性关系。这是一种单调递增或递减的关系，在现实生活中广为应用；另外，现实世界中大量的变量服从正态分布，对这些变量而言，可以用线性关系或准线性关系构建它们之间的联系。

1．2相关性度量
1．概率论中用相关系数(correlationcoefficient)度量两个变量的相关程度。
为区别以下出现的样本相关系数，有时也把这里定义的相关系数称为总体相关系数。可见相关系数是判断变量间线性关系的重要指标。
2．样本相关系数
我们也只能根据这个容量为n的样本来判断变量X和Y的相关性达到怎样的程度。

这个估计称为样本相关系数，或Pearson相关系数。它能够根据样本观察值计算出两个变量相关系数的估计值。
和总体相关系数一样，如果，称X和Y不相关。这时它们没有线性关系。
多数情况下，样本相关系数取区间(1,1)中的一个值。相关系数的绝对值越大，表明X和Y之间存在的关系越接近线性关系。

1．3相关性检验
两个变量X和Y之间的相关性检验是对原假设
H0：Corr(X,Y)=0
的显著性进行检验。检验类型为t。如果H0显著，则X和Y之间没有线性关系。

1．4计算样本相关系数Correlate\Bivariate
例1数据data02，计算变量当前薪金、起始薪金、受教育年限和工作经验之间的样本相关系数。
打开Correlate\Bivariate对话框，将变量salary、salbegin、educ和prevexp输入Variables，点击OK，即得表格：

表格中的PearsonCorrelation指样本相关系数，例如起始薪金与受教育年限的相关系数为0.633；Sig.为相关性检验结果，起始薪金与受教育年限的相关性检验结果为Sig.=0.000，在0.05和0.01的水平下，都能否定它们不相关的假设。N为观察值个数。

1．5偏相关系数
1．控制变量以上在计算变量X和Y的相关系数时，并没有考虑有其他变量的影响。例如：计算当前薪金(salary)与起始薪金(salbegin)的相关系数得0.890，但是当前薪金显然还受到受教育年限(educ)的影响，这个影响在计算相关系数时没有被扣除，因此0.890这个数字不完全真实。如扣除educ的影响，在计算salary和salbegin的相关系数，就更接近真实了。这个被扣除的变量就叫控制变量，这里educ便是控制变量。控制变量可以不止一个。
2．偏相关系数扣除控制变量影响后得到的相关系数称为偏相关系数(partialcorrelation)，计算命令为：Correlate\Partial.
例2数据data02，计算当前薪金与起始薪金在扣除受教育年限影响后的偏相关系数。
在PartialCorrelations对话框中，将变量salary、salbegin输入Variables，将变量educ输入Controllingfor，然后OK，得：

其中Corrlation指偏相关系数，df自由度，Significance是对原假设H0：pCorr(X,Y)＝0检验结果得到的水平值。可见：偏相关系数值等于0.795；不能接受不相关的假设。

第二节线性回归方程

2．1一元线性回归方程
1．相关分析是以线性关系为“样板”，讨论变量X和Y的相关程度，这一程度用相关系数表示。我们不禁要问：这个“样板”是什么？也就是把这个做“样板”的线性表达式：

给出来，这也就相当于把系数b0和b1估计出来。这样，变量X和Y的关系就可以表示成为：

其中为误差，是一个随机变量。显然，相关系数绝对值越大，误差在表达式中占的比重就越小，也就是线性部分占的比重越大，这就有可能用线性表达式(1)近似表达变量X和Y的关系。称线性表达式(1)为变量Y对于X的（一元线性）回归方程。
回归分析的主要任务是回答：
1）回归方程(1)能否近似代表变量X和Y的关系。这实际是对线性部分与误差部分各占比重的估量；
2）怎样估计回归方程(1)，也就是怎样估计参数b0和b1。
显然，在任务2）完成前，任务1）无从开始。
2．回归的基本假设
解决回归分析的主要任务还是要从样本：

入手。套用(2)，样本(3)可以写成：