第4章-多元函数微分学教材课程.ppt

推广4.1.1空间解析几何简介八个卦限八个卦限01)位于坐标轴上点的坐标的特点：00设P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)为空间任意两点，则其距离为例2一动点P(x,y,z)到原点O(0,0,0)的距离为定值1，求动点的轨迹方程。则方程(4-2)就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(4-2)的图形。1.平面方程平面一般方程的几种特殊情况：(4)垂直于坐标轴例3求过x轴和点P(2,-2,3)的平面方程。例4设平面过点P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)(其中abc≠0)，求该平面的方程。2.二次曲面方程xx用z=a截曲面平行截口法平行截口法azz曲线C曲线C曲线C曲线Cxxxaaa9.旋转锥面两条相交直线xyyy卫星接收装置四、空间曲线一般方程其交线都是xOy平面上的圆周二、多元函数的概念以一点P0(x0,y0)为圆心，长度为半径δ的圆形区域(不包括圆周，记做U{(x0,y0),δ}）或为U(P0,δ))在讨论实际问题中也常使用方邻域,2.区域(2)聚点D例如，在平面上整个平面3.n维空间Rn中点a的邻域为引例：定义1.设非空点集定义2设有三个变量x,y,z，若变量x,y在允许的区域内任意取定一对值时，变量z按着一定的规律总有唯一确定的值与之对应，则变量z称为x,y的二元函数，记作例如，二元函数例6求下列函数定义域例7求下列函数的定义域4.1.3二元函数的极限与连续性对于该定义，应注意以下两点：解：设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),例9求例10求极限(2)解：(1)由前面的例5讨论可知，函数z1当P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时极限不存在，故z1的间断点是xOy平面上的孤立点(0,0)。4.2偏导数与全微分定义2设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内同样可定义对y的偏导数例如，三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的例1求z=x2+3xy+y2在点(1,1)处的偏导数。例2例3设z=xy，求。例4求二元函数偏导数的几何意义：注意：函数在某点各偏导数都存在,但在该点不一定连续.4.2.2全微分一、全微分的定义考虑△z=A△x+B△y+o(ρ)，它对一切△x,△y都是成立的。显然对△y=0也成立，于是定理1(可微的必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微，则它在点(x.y)处的两个偏导数必存在，且二元函数的全微分可写成(2)偏导数连续例5.计算函数z=x2y+y2的全微分。例6.计算函数例7求函数z=exy在点(2,1)处的全微分。全微分在近似计算中的应用例8计算(0.99)2.02的近似值。4.2.3高阶偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例9.求函数定理2若fxy(x,y)和fyx(x,y)都在区域D内连续，则例11设z=cos(2xy)，求，例12证明函数内容小结一元复合函数一、多元复合函数求导法则推广：设下面所涉及的函数都可微。又如,解：例2设例3.设例4设，求二、隐含数的微分法例52）设方程F(x,y,z)=0确定二元隐函数z=z(x,y)例6设x2+y2+z2-4z=0，求例7设例8方程两边对y求导,得例9一元函数与二元函数的比较一、多元函数的极值一、多元函数的极值说明：使偏导数都为0的点称为驻点。时,具有极值利用定理6的1)、2)，把具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)的极值的求法叙述如下：例1.在点(3,0)处0驻点假设侧面积与底面积的单位造价为3k和4k，则水箱的造价为三、条件极值方法2拉格朗日乘数法.引入辅助函数推广内容小结设拉格朗日函数四边形,试列出其目标函数和约束条件？