《1.5定积分的概念》课件 选修2-2.ppt

1.5定积分的概念
1．5.1曲边梯形的面积
1．5.2汽车行驶的路程
1．5.3定积分的概念【课标要求】
1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．
2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．
3．了解定积分的概念．
4．了解定积分的几何意义和性质．
【核心扫描】
1．“以直代曲”、“以不变代变”的思想的考查．(热点)
2．学会求定积分．(重难点)自学导引
1．连续函数
如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的函数．2．曲边梯形的面积
(1)求曲边梯形面积的思想：如图①所示，我们求y＝f(x)与x轴所围成的在区间[0,1]上的曲边梯形的面积，我们可以采用分割，以直代曲、作和，逼近的思想方法求出其面积．即把区间[0,1]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用的面积近似代替的面积，得到每个面积的近似值，对这些近似值求和，就得到面积的近似值．可以想象，随着拆分越来越细，近似程度就会越来越好．也即用化归为计
算和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．平行于x轴的直线段3．求变速直线运动的位移(路程)
如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用，，，的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
求解方法与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题．即将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上，由于v(t)的变化很小，可以认为汽车近似于做匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，再求和得s的近似值，最后让n趋向于无穷大就得到s的精确值．想一想：求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？
提示为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．定积分积分下限直线x＝a6．定积分的性质名师点睛
1．求曲边梯形面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．
(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：
①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；
②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；
④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．3．正确理解定积分的概念
(1)求汽车行驶的路程实际上也是求时间－速度坐标系中的曲边梯形的面积，“以直代曲”，“以不变代变”，近似值代替精确值求和，无限细分逼近精确值的思想方法是它们共同的本质特征，定积分的概念就是从这一共同的本质特征抽象提炼出来的，这样我们就更容易理解定积分的几何意义和物理意义．(2)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即
(称为积分形式的不变性)，另外定积分与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，所得的值也就不同，例如
的值就不同．题型一求曲边梯形的面积
【例1】求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的曲边梯形的面积S.
[思路探索]要求这个曲边梯形的面积，可以按分割，近似代替、求和、取极限四个步骤进行．分割、近似代替、求和、取极限是求曲边梯形面积的四个步骤，求曲边梯形的面积时需理解以下几点：
①思想：以直代曲；②步骤：化整为零→以直代曲→积零为整→无限逼近；③关键：以直代曲；④结果：分割越细，面积越精确．求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．题型三利用定积分定义计算定积分

【例3】利用定积分定义计算(1＋x)dx的值．

[思路探索]将区间[1,2]等分为n个小区间，然后用小矩形的面积近似替代小梯形的面积，再求其和，最后对其和取极限即得所求定积分．(1)利用定积分的定义计算定积分的值能加深对定积分的概念及其几何意义的理解，用定积分的定义求定积分的步骤是：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．(2)在每个小区间[xi－1，xi]上对ξi的选取是任意的，为了计算方便，ξi可都取为每个小区间的左端点(或都取为右端点)．题型四定积分几何意义的应用
【例4】用定积分的意义求下列各式的值．【题后反思】(1)用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是：
①准确画出各