简介常微分方程数值解资料讲解.ppt

第十章问题驱动：蝴蝶效应该方程组来源于模拟大气对流，该模型除了在天气预报中有显
著的应用之外，还可以用于研究空气污染和全球侯变化。洛伦
兹借助于这个模型，将大气流体运动的强度x与水平和垂直方
向的温度变化y和z联系了起来。参数一、初值问题的数值解法(2)一般构造方法：
离散点函数值集合+线性组合结构→近似公式(3)如何保证迭代公式的稳定性与收敛性?称在区域D上对满足Lipschitz条件是指:二、初值问题解的存在唯一性求函数y(x)在一系列节点
a=x0<x1<…<xn=b处的近似值

的方法称为微分方程的数值解法。三、初值问题的离散化方法§2欧拉方法
/*Euler’sMethod*/亦称为欧拉折线法
/*Euler’spolygonalarcmethod*/欧拉法的局部截断误差：例1:用欧拉公式求解初值问题可用来检验近似解的准确程度。欧拉公式的改进：由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。梯形公式/*trapezoidformula*/中点欧拉公式/*midpointformula*/方法改进欧拉法/*modifiedEuler’smethod*/注:此法亦称为预测-校正法
/*predictor-correctormethod*/在实际计算时，可将欧拉法与梯形法则相结合，
计算公式为改进欧拉法的截断误差二元函数的n阶Taylor展式：例2:改进的Euler法通过计算结果的比较可以看出，改进的Euler方法§3龙格-库塔法
/*Runge-KuttaMethod*/考察改进的欧拉法，可以将其改写为：将改进欧拉法推广为：Step2:将K2代入第1式，得到要求，则必须有：为获得更高的精度，应该如何进一步推广？考虑一阶常微分方程初值问题若

n级显式Runge-Kutta方法二阶Runge-Kutta方法由此得另一方面改进的Euler方法中点方法二阶Heun方法二级Runge-Kutta方法不超过二阶因此局部截断误差只能达到三级Runge-Kutta方法记又由于因此要使局部截断误差为，必须Kutta方法三阶Heun方法三级Runge-Kutta方法不超过三阶四级R-K方法局部截断误差为O(h5)附注：注：
龙格-库塔法的主要运算在于计算的值，即计算的值。Butcher于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：§4单步方法的收敛性与稳定性
/*ConvergencyandStability*/解：该问题的精确解为稳定性/*Stability*/定义我们称算法A比算法B稳定，就是指A的绝对稳定
区域比B的大。例：考察显式欧拉法例：考察隐式欧拉法例：隐式龙格-库塔法而显式1~4阶方法的绝对稳定区域为