形异质同的“f=kv”问题 专题辅导 不分版教材本.doc

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形异质同的“f=kv”问题
于正荣
先看两道题：
题1：将一质量为m的物体以初速竖直向上抛出，已知物体在运动过程中所受空气阻力的大小与其运动速度成正比，比例系数为k，若物体能够上升的最大高度为H，则其上升过程所用的时间应为（）
A. B.
C. D.
题2：如图1所示，在光滑的水平面上，有一竖直向下的匀强磁场，分布在宽度为L的区域内，现有一边长为l（l<L）的正方形闭合导线框以垂直于磁场边界的初速度v0滑过磁场，线框刚好能穿过，则线框在滑进磁场过程中产生的热量Q1与滑出磁场过程中产生的热量Q2之比为（）
A.1：1 B.2：1
C.3：1 D.4：1

图1
表面上看，上述两题的物理情况毫不相干，但两题中都有一个变化的外力：题1中的空气阻力f=kv及题2中的安培力。这两个力都与物体的运动速度v成正比，都可写成f=kv形式，所以这两题形异质同，不妨称之为“f=kv”问题。
物体在变力作用下做复杂的变速运动，可以把物体的运动分割成若干小段，在每一小段内，可认为力f不变，这样，在△t1时间内，力f的冲量：

同理，时间内，力f的冲量
，……
所以整个过程力f的冲量为：

即变力的冲量大小与物体的位移大小成正比。
这个结论的几何解释如图2所示（仅仅是示意性地画出，并不真正表示物体就做图示形式的运动）。对于v—t图象，图象与t轴所围的面积表示物体的位移s。由于f=kv，力f随时间t变化的f—t图象与v—t图象相似（纵轴相差k倍）。对f—t图象来说，图象与t轴所围的面积就是力f的冲量I，显然I=ks。此结论在解答“f=kv”问题中有很重要的作用。

图2
题1解：对物体的上升过程，由动量定理有：

由于If=kH
所以mgt+kH=mv0
得：
选B。
题2解：设导线框完全滑入时速度为。对导线框滑入过程，由动量定理有：

（其中）
同理，对滑出过程，有

解得：
再从能量关系即可得出C正确。
通过上面的解答可以看出，这类问题适宜用动量定理解决。下面再举一例。
题3：质量为m、电量为q的带正电小球，套在竖直绝缘长杆上，小球与绝缘杆之间的动摩擦因数为，整个装置处于磁感应强度为B的水平匀强磁场中，如图3所示。现将小球由静止释放，经时间t小球恰好达到稳定速度。试求此过程小球下落的距离h。

图3
解：小球下落时受到重力mg、杆的弹力N、洛仑兹力qvB、摩擦力f作用，由于水平方向平衡，所以有：

而，其中为常数
所以本题也属于“”问题。
当小球速度稳定时，有

得：
对下落过程，由动量定理得：

解得：
练习：
1.从地面上以初速竖直向上抛出一皮球，皮球落地时速率为，若皮球运动过程中所受空气阻力的大小与其速率成正比，试求皮球从抛出到落地的整个过程所经历的时间。
2.如图4所示，在光滑的水平面上，有一竖直向下的匀强磁场分布在宽度为a的区域内，现有一个边长为的正方形闭合线圈，以初速度垂直磁场边界滑过磁场后，速度变为，则线圈完全进入磁场中时的速度（）
A.大于
B.等于
C.小于
D.以上A、C均有可能，而B是不可能的。

图4

[参考答案]
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1. 2.B