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天体运行问题的复习要点
天体运行问题贴近科技前沿，且蕴含丰富的物理知识，它是万有引力定律、匀速圆周运动、牛顿运动定律及地理知识等的综合，是高考突出学科内及跨学科间综合创新能力考查的命题热点。在中学阶段，天体正常运行的轨道可看作以中心天体为圆心的一个圆周，并把其运动看成是匀速圆周运动，所以在复习时建议同学们把握以下几个要点。
一.一个基本方程
设M表示中心质量，m、r、a分别表示运行天体的质量、轨道半径与向心加速度，根据天体做匀速圆周运动的向心力由中心天体对它的万有引力来提供，这样由牛顿第二定律得到一个基本方程。
利用这个基本方程（必要时再结合向心加速度的不同表达式），一般的天体问题都可迎刃而解。
例1.设行星的质量为m，太阳质量为M，行星绕太阳运动的周期为T，轨道半径为r，试证明周期T的平方与轨道半径r的三次方的比为常数（即开普勒第三定律）。
解析：设行星绕太阳的运动轨道可近似为圆形，应用上述基本方程可得

即
由上式变形即可得
提示：很多同学不清楚开普勒第三定律中的常数K到底与谁有关。由可以看出，对太阳（中心天体）来说，M是一个定值，所以绕太阳运行的行星都有相同的；即开普勒第三定律中的常数K只与中心天体的质量有关，而与行星无关。

例2.据美联社2002年10月7日报道，天文学家在太阳系的9大行星之外，又发现了一颗比地球小得多的新行星，而且还测得它绕太阳公转的周期约为288年。若把它和地球绕太阳公转的轨道都看作圆，问它与太阳的距离约是地球与太阳距离的多少倍。（最后结果可用根式表示）
解析：设太阳的质量为M；地球的质量为，绕太阳公转的周期为，与太阳的距离为，公转角速度为；新行星的质量为，绕太阳公转的周期为T，与太阳的距离为R，公转角速度为，根据上述基本方程对新行星分析得：

对地球分析得

由以上各式得：
结合题设条件
代入可解得

二.二种特殊卫星
二种特殊卫星是指地球同步卫星和近地卫星。地球同步卫星是相对地球表面静止的稳定运行的人造卫星，其具有以下四个“一定”：
（1）地球同步卫星的轨道平面一定（一定位于赤道的正上方，不可能在与赤道平行的其他平面上）。
（2）地球同步卫星的周期一定（与地球自转周期相同，即为24小时）。
（3）地球同步卫星的轨道半径一定（即高度一定）。
（4）地球同步卫星的线速度一定（其线速度大小约为，绕行方向与地球自转方向相同）。
近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，所以可求得其线速度大小约为（即大小等于第一宇宙速度）

例3.用m表示地球同步通信卫星的质量、h表示卫星离地面的高度、M表示地球的质量、R0表示地球的半径、g0表示地球表面处的重力加速度、T0表示地球自转的周期、表示地球自转的角速度，则地球同步通信卫星的线速度v为（）
A. B.
C. D.
解析：设地球同步卫星离地心的高度为r，则，所以线速度

同步卫星作圆周运动由万有引力提供向心力

得
又因为
所以
则
故选项A、B、C、D均正确。
提示：由于地球半径R0、自转的周期T0和角速度等均已确定，所以同步通信卫星的线速度v有多种表达形式，但无论哪种表达，其数值是一定。

例4.某地球同步卫星离地心距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比例式正确的是（）
A. B.
C. D.
解析：由题设条件可知，题中涉及的研究对象为同步卫星、赤道上物体和近地卫星，其中同步卫星与赤道上物体的角速度相等（都等于地球自转的角速度），赤道上物体与近地卫星的半径相同（都等于地球半径R）。
对同步卫星与赤道上物体由向心加速度的公式可得：

因为同步卫星与近卫星都在各自的轨道上做匀速圆周运动，所以由基本方程可知，
同步卫星在运行时满足
近地卫星在运行时满足
由以上两式可得
综合上述分析，可知选项A、D正确。
提示：静止在地球表面上的物体，尽管重力mg近似等于万有引力、绕地轴与地球做匀速圆周运动，与近地卫星有相似之处，但其做匀速圆周运动所需的向心力并不等于地球对物体的万有引力，所以一定要正确区分地球表面上的物体与近地卫星的不同。

三.三个宇宙速度
人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时的速度叫第一宇宙速度（了也叫环绕速度），大小为。当卫星运行的半径逐渐增大时，其运行速度要逐渐减小，所以第一宇宙速度是人造卫星的最大运行速度。另外发射人造卫星的最低高度就是近地，因此第一宇宙速度也是人造卫星的最小发射速度。
使人造卫星挣脱地球引力的事缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小速度叫第二宇宙速度，大小为。
使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小