数学必修2人教A：3.2.1直线的点斜式方程.doc

3.2.1直线的点斜式方程

【教学目标】
（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
【教学重难点】
重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

【教学过程】
（一）情景导入、展示目标
1．情境1：过定点P（x0,y0）的直线有多少条？倾斜角为定值的直线有多少条？
学生思考、讨论。

(二)预习检查、交流展示
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（三）合作探究、精讲精炼。
问题1：确定一条直线需要几个独立的条件？
学生可能的回答：
（1）两个点P1（x1，y1），P2（x2，y2）；
（2）一个点和直线的斜率（可能有学生回答倾斜角）；
（3）斜率和直线在y轴上的截距（说明斜率存在）；
（4）直线在x轴和y轴上的截距（学生没有学过直线在x轴上的截距，可类比，同时强调截距均不能为0）。
问题2：给出两个独立的条件，例如：一个点P1（2，4）和斜率k=2就能决定一条直线l。
（1）你能在直线l上再找一点，并写出它的坐标吗？你是如何找的？
（2）这条直线上的任意一点P（x，y）的坐标x，y满足什么特征呢？

直线上的任意一点P(x,y)（除P1点外）和P1(x1，y1)的连线的斜率是一个不变量，即为k，即：k＝，即y-y1=k(x-x1)
学生在讨论的过程中：（1）强调P（x，y）的任意性。（2）不直接提出直线方程的概念，而用一种通俗的，学生易于理解的语言先求出方程，可能学生更容易接受，也更愿意参与。
问题3：（1）P1（x1，y1）的坐标满足方程吗？
（2）直线上任意一点的坐标与此方程有什么关系？
教师指出，直线上任意一点的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在此直线上。
让学生感受直线的方程和方程的直线的意义。
如此，我们得到了关于x，y的一个二元一次方程。这个方程由直线上一点和直线的斜率确定，今后称其为直线的点斜式方程。

设点P（x，y）是直线l上不同于P1的任意一点根据经过两点的直线斜率
公式，得

由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程，叫直线的点斜式方程。

讨论:直线的点斜式方程能否表示平面上的所有直线?
(引导学生从斜率的角度去考虑)
结论:不能表示垂直于轴的直线.
（1）轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？
（2）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？
（3）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？

①当直线的倾斜角为0°时，tan0°＝0，即k＝0，这时直线与x轴平行或重合，直线l的方程就是y－y0＝0或y＝y0
②当直线l的倾斜角为90°时，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示，这时直线上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程为x－x0＝0或x＝x0

例1．一条直线经过点P1（-2，3），斜率为2，求这条直线的方程。
分析：应用点斜式方程
解：由直线的点斜式方程得y-3=2(x+2)，即2x-y+7=0.
点评：寻找点斜式的条件，然后直接用

变式1：在例1中，若将“斜率为2”改为“倾斜角为45o”，求这条直线的方程；

变式2：在例1中，若将直线的倾斜角改为90o，这条直线的方程是什么？

例2．已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P（0，b），求直线l的方程。
分析：同例1，直接用
解：根据直线的点斜式方程，得直线l的方程为y-b=k(x-0)，即y=kx+b.

点评：介绍截距和斜截式方程的概念。

由点斜式方程可知,若直线过点且斜率为,则直线的方程为:
方程称为直线的斜截式方程.简称斜截式.其中为直线在轴上的截距.
变式：（1）斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方程。
解：由已知得k=5，b=4，代入斜截式方程
y=5x+4

2．思考
情境2：P76，用计算机在同一直角坐标系中分别作出直线y=2，y=x+2，y=-x+2，y=3x+2，y=-3x+2的图象。
问题4：直线y=kx+2有什么特点？
学生观察、归纳、发现：直线y=kx+2过定点（0，2），随着k的变化，直线绕点（0，2）作旋转运动。
用几何画板演示。
情境3：用计算机在同一直角坐标系中分别作出直线y=2x，y=2x+1，y=2x-2，y=2x+4，y=-2x-4的图象.
问题5：直线y=2x+b有什么特点？
学生观察、归纳、发现：直线y=2x+b的方向不变，随着b的变化，直线作平行移动。
用几何画板演示。

（四）反馈测试
导学案当堂检测
㈤总结反思、共同提高
我们已经学习了直线的点斜式方程，记住它的使用条件。那么，直线方程还有其他形式吗？在