平面向量的数量积及平面向量应用举例.ppt

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向
量数量积的运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数
量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一
些实际问题.
1.两个向量的夹角
(1)定义和范围
(2)两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件
[思考探究1]
在△ABC中，设＝a，＝b，则a与b的夹角为∠ABC吗？
2.平面向量的数量积
3.与平面向量的数量积有关的结论
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
[思考探究2]
若a∥b，则a与b的数量积有何特点？1.已知a＝(1，－2)，b＝(5,8)，c＝(2,3)，则a·(b·c)＝()
A.34B.(34，－68)
C.－68D.(－34,68)2.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋
2b|＝()
A.B.
C.4D.12
3.已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量
b的夹角是()
A.30° B.45°
C.90° D.135°
解析：设向量a与b的夹角为θ，
由a⊥(a－b)，得
a·(a－b)＝0，即|a|2－a·b＝0，
∴|a||b|cosθ＝|a|2，
∴cosθ＝
∴θ＝45°.
4.已知向量a＝(3,2)，b＝(－2,1)，则向量a在b方向上的
投影为.
5.若b＝(1,1)，a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝.

1.向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式a·b＝
|a|·|b|cosθ来计算，二是利用a·b＝x1x2＋y1y2来计算，
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注
意数量积运算律的应用.
2.利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握
此类问题的处理方法：
(1)|a|2＝a2＝a·a；
(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
[课堂笔记](1)a·b＝|a|·|b|·cos
＝3×4×(－)＝－6.
a2＝32＝9，b2＝16.
∴(3a－2b)·(a－2b)＝3a2－8a·b＋4b2
＝3×9－8×(－6)＋64＝91＋48.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝9＋2×(－6)＋16＝25－12.
∴|a＋b|＝
若将例题已知条件改为“已知a＝(3，－4)，b＝(2,1)”，试解决上述问题.∴(3a－2b)·(a－2b)＝(5，－14)·(－1，－6)
＝5×(－1)＋(－14)×(－6)
＝－5＋84
＝79.
(2)∵a＋b＝(3，－4)＋(2,1)＝(5，－3)，
∴|a＋b|＝
已知a与b为不共线向量，且a与b的夹角为θ，则
(1)a·b＞0⇔0°＜θ＜90°；
(2)a·b＝0⇔θ＝90°；
(3)a·b＜0⇔90°＜θ＜180°.已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，
求：(1)a与b的夹角；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值.
[课堂笔记](1)∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴|a|2－|b|2＝，
又∵|a|＝1，∴|b|＝
设a与b的夹角为θ，则cosθ
∴θ＝45°.(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×
∴|a－b|＝.
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×
∴|a＋b|＝，设a－b与a＋b的夹角为α，
则cosα＝

1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行
(共线)的充要条件：
a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0).
2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
已知平面内A、B、C三点在同一条直线上，＝
(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且，求实数m，n的值.
[课堂笔记]由于C、A、B三点在同一条直线上，则
而＝(7，－1－m)，
＝(n＋2,1－m)，
∴7(1－m)－(－1－m)(n＋2)＝0，①
又∵∴－2n＋m＝0，②
联立①②解得[考题印证]
(2009·湖南高考)(12分)已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2).
(1)若a∥b，求tanθ的值；
(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值.
【解】(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝┄┄┄┄(4分)
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，
所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋)＝.┄┄┄┄┄┄┄(8分)
又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜