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第24卷第3期邢台职业技术学院学报Vb1．24No．3
2007年6月JournalofXingtaiPolytechnicCollegeJun．2007

数学教学中逆向思维的培养
霍凤芹，陶金瑞

(河北机电职业技术学院，河北邢台054048)
摘要：本文从四个方面介绍了数学教学中逆向思维的培养，简述了逆向思维培养与提高学生
数学素养的关系。
关键词：数学；思维；逆向思维
中图分类号：G421文献标识码：A文章编号：1008---6129(2007)O3—加l4_--03

一
、逆向思维与提高数学素养
我国义务教育数学大纲中指出：“使学生受到必要的数学教育，具有一定的数学素养，对于提高全民
族素质，为培养社会主义建设人才奠定基础是十分必要的。‘数学素养”在我国数学教学大纲中的出现，
标志着我国的数学教育要走上素质教育的轨道。随着科学技术的不断发展，市场经济的日趋完善，社会
对人的数学素质也提出了较高的要求。打开电脑、翻开报纸、利息利率、分期付款、股市行情、期货信
息、市场预测、投入产出、成本利润等比比皆是。现实表明，为了适应社会的发展和需求，数学教育必
须重视应用价值和教育功能。
数学是思维的体操，通过数学课教学，有利于提高学生的思维能力，这是人们的共识。提高学生思
维能力是提高学生数学素养的重要方面，它有利于培养和开发学生的创造性活动。一般说来，任何一位
工程师的创造能力可以用如下的公式来估计：创造能力=知识量×发散思维力。
发散思维是一种取得合理设想或猜想的思维形式，它包括着联想、想象、模拟、类推、直观推理(又
称拟真推理)和逆向思维。自然知识量越大，则联想、类比、想象的本领就越大，从而产生新思想、新
概念和新方法的机会也就越多。
逆向思维是发散思维的一种重要类型。所谓逆向思维就是在研究过程中有意去做与习惯性的思维方向
完全相反的探索：顺推不行时考虑逆推，直接解决不行时考虑间接解决，探讨可能性发生困难时考虑探
讨不可能性。当人们反复思考某个问题陷入困境时，逆向思维往往使人顿开茅塞。
本文简单介绍笔者在数学教学中对学生进行逆向思维培养的一些尝试，实践证明，它对提高学生的数
学素养颇有益处。
二、概念的逆向思维
概念是反映客观事物的共同属性及其本质的思维形式。数学中有许多概念是逆向思维的产物，如，
微分和积分；收敛与发散等。例如在引入原函数与不定积分概念时，先问“什么函数可以使得()=厂(x)

成立时，引入原函数的概念；再找能使得()=厂(x)成立的一切函数时就引入了不定积分的概念，

有意识引导学生在概念课教学中开展逆向思维，确实是引入新概念的好办法。
概念又是思维的细胞，是构成判断、推理等思维形式的基本要素。通过逆向思维引入的新概念会使
学生理解得更深刻、更具体。
三、关系映射反演(小)原则的培养
RMI原则是指：令R表示一族原象的关系结构(或原象系统)，其中包括确定的原象X，M表示

一种映射(一一对应法则)，通过它的作用原象结构系统R被映成映象结构，其中自然包含着未知原象

收稿日期：2006_一l2-—2l
作者简介：霍凤芹(1954__)，女，河北隆尧人，河北机电职业技术学院，高级讲师。
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邢台职业技术学院学报2007年第3期

X的映象‘，如果有办法把。确定下来，则通过反演即逆映射I=M_。也L就相应地把X确定下来。

这一原则显然是典型的具有数学特征的逆向思维原则，它在数学教学中有着众多的应用。这里仅举一例。
【l】

例l在《积分变换》中按尺M原则求解

+2y一3y=e(1)

其初始条件为(o)=o，Y(0)：1

第一步，明确原象关系，在本题中未知原象为(z)，它所满足的微分方程和初始条件组成原象关系。

第二步，应用拉氏变换作映射。原象(z)的映象是

y()=一(f)

对(1)式两边的函数同时作拉氏变换，并考虑初始条件，利用分部积分法不难求得映象关系
y()一l+2y()一3Y(S)=1

第三步，从映象关系求出映象，可得

l
r(s)=(+1)(
-1)(s+3)8(s-1)4(s+1)8(+3)

第四步，求r(s)得逆变换(即拉氏变换的反演)，利用拉氏变换对照表，可立即写出r(s)的原
象：)=吉(32e～)
这便是微分方程的解。此法可以推广到一般情形，即拉氏变换可以用作解高阶微分方程的映射工具。
事实上，映射和反演可以赋予很广泛的含义，冈此足原则实际可以理解为一种包罗万象的科学方
法论原则。例如概念乃是人脑活动的最高产物，它是事物对象或事物关系在人脑中的反映，我们可以把
概念的形成过程看成是通过人脑机制活动完成的映射，于是概念便是事物原象(对象及关系)的映象，利
用概念思维(包括逻辑分析推理)得出的结论，返回到事物原型上去解决问题，这可以理解为一种反演