弹塑性力学-第5章 弹塑性力学问题的建立与求.doc

第五章弹塑性力学问题的建立与求解

第五章弹塑性力学问题的建立与求解
弹塑性力学问题在数学上属边值问题，就是在给定边界条件下，确定物体内的应力场和应变场，而应变场与位移场密切相关。所求得应力场、应变场和位移场应该满足相应的基本方程和边界条件。
本章内容，除介绍弹性及弹塑性力学边值问题的建立之外，还将简单阐述弹塑性问题的解法。

5.1弹塑性力学边值问题

1.1弹塑力学的基本方程
弹塑性力学边值问题就是在给定载荷下确定物体内的应力场、应变场和位移场，它们应满足基本方程及给定的边界条件。而所谓“载荷”包括：体积力、面积力(即应力边界条件)及给定的边界位移(即位移边界条件)。由于在部分边界上给定的位移也是对物体的一种外部干扰，可归于广义的载荷。在笛卡儿坐标系下，弹塑性力学的基本方程为：
1).平衡方程
(5.1-1a)
或用张量写为
(5.1-1b)
对于弹塑性力学问题，在小变形条件下，其平衡方程还可用率型式表示为
(5.1-1c)
2).几何方程
对于小变形，几何方程包括Cauchy应变张量
(5.1-2a)
或
(5.1-2b)
和由应变位移关系导出的应变协调方程
(5.1-3a)
当物体内某应力点进入塑性状态，其几何方程通常采用应变率表示为
(5.1-3b)
3).本构方程
物体受力后，其应力状态可能一部分处于弹性阶段，一部分可能处于塑性阶段。由笫四章知，这两个阶段的本构方程是不同的，下面分别列出不同区域(阶段)的本构方程。
(1)弹性区域
弹性区域，应力应满足屈服不等式，在该关系下本构关系为广义虎克定律，即
(5.1-4a)
或简写为
(5.1-4b)
也用应变表示应力，则有
(5.1-4b)
上式可缩写为
(5.1-4c)
(2)塑性区域
对于变形物体内的塑性区域，如果处于初始屈服阶段，应力应满足屈服不等式，在该条件下，并注意当进入塑性状态时，体积为不可压缩，因此增量理论的(4.6-12a)式可写为
(5.1-5a)
或简写为
(5.1-5b)
其中

当为强化材料时，则可表示为
(5.1-5c)
式中

如果采用全量论，则应变偏量为
(5.1-5d)
1.2弹塑力学问题的边界条件
从上面可见，当物体处于弹性状态时，共有3个平衡方程(5.1-1)，6个几何方程(5.1-2)，6个本构方程(5.1-4)。共15个方程(统称为泛定方程)。其中包括6个应力分量，6个应变分量，2个位移分量，共15个未知函数，因而在给定边界条件时，问题是可以求解的。
当物体处于弹塑性状态时，同样有3个平衡方程(5.1-1)，6个几何方程(5.1-2)以及6个本构方程(5.1-5)。但在此情况下多引进了一个参数，不过也增加了一个屈服条件．只有在应力满足屈服条件时，才不等于零。
在研究弹塑性小变形平衡问题范围内时，以上弹塑性力学问题的解还必须满足的边界条件。边界条件一般可分为三类，即
(1)应力边界条件
(5.1-6a)
或写为
(5.1-6b)
(2)位移边界条件
(5.1-7a)
或写为
(5.1-7b)
(3)混合边界条件
当物体中的一部分边界力已给定，而另一部分边界给定了位移，则称这类边界条件为混合边界条件。这类边界条件的表达式分别同式(5.1-6)和(5.1-7)。
应当注意的是，加载过程的弹塑性力学问题可作为非线性弹性力学问题处理。这时应注意的是卸载，卸载时应遵守卸载定律。如果变形物体内可能同时存在几种不同的变形区，如初始弹性区、加载区()及卸载区()，在相邻区域的交界上，应力和应变还应满足一定的连续或间断条件。
一般来说，在一定的边界条件下，弹塑性力学问题原则上是可以求解。通常在数学上称弹塑性静力学问题为边值问题。

6.2弹性力学问题的基本解法与解的唯一性

2.1问题的提法
求解弹力学问题的目的是确定物体内各点的应力场和位移场，因此弹性力学问题的提法必须是使定解问题是适定的，即问题有解、解是唯一的和解是稳定的。
弹性力学问题的基本方程虽然构成一个封闭方程组，但该方程组只有在与定解条件，即边界条件相符的解才是所需的正确解。因此，边界条件的重要性不容忽视。应强调的是，边界条件的个数应给得不多也不少时，才能得出正确解。如空间问题的应力边界条件，必须在边界上的每一点给出三个应力边界条件，一旦多给了，则会找不到满足全部边界条件的解，如果少给了，就会有多个解满足所给的边界条件，因此不能判断那一个解是正确的。
由此可见，弹性力学的基本方程组一般地反映物体内部的应力、应变和位移之间相互关系的普遍规律，而定解条件具体给定了每一个边值问题的特定规律。因此，每一个具体问题反映在各自的边界条件上。所以，弹性力学问题的基本方程组和边界条件共同构成弹力学问题严格而完整的提法。
根据具体问题边界条件类型的不同，通常将其分为以下三类问题，即
第一类边值问题