高等数学——函数与极限.doc

《高等数学》教案

第一章：函数与极限（18课时）

第一节：映射与函数
教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。
一、集合
1、集合概念
具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。
表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素。
1)
2)
元素与集合的关系：，
一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
常见的数集：N，Z，Q，R，N+
元素与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作。
如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作
若作且则称A是B的真子集。
全集I：AiI（I=1，2，3，……..）。
空集：。
2、集合的运算
并集：
交集：
差集：
补集（余集）：I＼A
集合的并、交、余运算满足下列法则：
交换律：
结合律：，
分配律：，
对偶律：(
笛卡儿积：A×B
3、区间和邻域
1）有限区间：开区间，闭区间，半开半闭区间。
2）无限区间：（），，，，。
3）邻域：
注：a邻域的中心，邻域的半径；去心邻域记为。
二、映射
映射概念
定义设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对X中的每一个元素，按法则，在Y中有唯一确定的元素与之对应，则称为从X到Y的映射，记作

其中称为元素的像，并记作，即。
注意：每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一。
三、函数
1、函数的概念
定义设数集，则称映射为定义在D上的函数，记为。
注：函数相等：定义域、对应法则相等。
2、函数的几种特性
1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。
2）函数的单调性（单增、单减），在x1、x2点比较函数值与的大小（注：与区间有关）。
3）函数的奇偶性(定义域对称、与关系决定)，图形特点(关于原点、Y轴对称)。
4)函数的周期性(定义域中成立：)
函数与复合函数
1）反函数：函数是单射，则有逆映射，称此映射为函数的反函数。
函数与反函数的图像关于对称。
2）复合函数：函数定义域为D1，函数在D上有定义、且。则为复合函数。
3）分段函数：分段函数的统一表达式。
结论：对于分段函数
f（x）=
若初等数函f1（x）和f2（x）满足f1（a）=f2（a），则
f（x）=f1[（x+a-）]+f1[（x+a+）]-f1（a）
4、初等函数
1）幂函数：
2)指数函数：
3)对数函数：
4)三角函数：
5)反三角函数：，

以上五种函数为基本初等函数。
6）双曲函数：，，
注：双曲函数的单调性、奇偶性。
双曲函数公式：

7）反双曲函数：

已知分段函数

1）求其定义域并作图；2）求函数值
求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域：
y=10u，u=1+x2,y=arctanu2,u=tanv,v=a2+x2.
求函数的反函数及反函数的定义域：
y=x2,（0x〈），
作业：见课后各章节练习。

第二节：数列的极限
教学目的与要求：理解极限的概念，性质。
教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用。
一、数列
数列就是由数组成的序列。
1）这个序列中的每个数都编了号。
2）序列中有无限多个成员。
一般写成：
缩写为
例1数列是这样一个数列，其中
，
也可写为：

可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为。
限的定义
，则称数列的极限为，记成
也可等价表述：
1）
2）。
极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。
二、收敛数列的性质
定理1如果数列收敛，那么它的极限是唯一。
定理2如果数列收敛，那么数列一定有界。
定理3如果且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时，。
证明数列的极限是1。
作出数列图形，讨论其极限值。
作业：见课后各章节练习。

第三节：函数的极限
教学目的与要求：理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
教学重点（难点）：理解函数左极限与右极限，极限性质。
一、极限的定义
1、在点的极限
1）可在函数的定义域内，也可不在，不涉及在有没有定义，以及函数值的大小。只要满足：存在某个使：。
2）如果自变量趋于时，相应的函数值有一个总趋势——以某个实数为极限，则记为：。
形式定义为：

2、的极限
设，如果当时函数值有一个总趋势--该曲线有一条水平渐近线--则称函数在无限远点有极限。记为：。
在无穷远点的左右极限：
，
关系为：

二、函数极限的性质
1、极限的唯一性
2、函数极限的局部有界性
3、限的局部保号性
4、函数极限与数列极限的