数形结合在解题中的辨析应用.pdf

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；芦多∥爿_量聋X夕一少卜l一则有g’(；)=毕当0<髫<e时，g’(算)>o，g(霄)为增函数形结合在解题中的辨析应用1，则枷=1一m，ABMO一△CMA，得三=士，得m=X≥+·)并一2图象为线段．．从而：(、一a-．1；：：：：茎：’或{；：：：；×x。l一-22≥’>。0’恒成立．解得a一<-5或口≥·，故口的取趴(1)o<小X2<小ej孚<孚<訾(2)e<V％“：“户i>i>寻J，I则七：￡攀，表示直线y：，(算)上任<譬<警，即选(B)．一点与原点连线的斜率，由上图直观可得：koc<k∞<koAj譬f-；-tana=5，_|}肼=一5．于是，当0≤OM≤÷时符合题意，即口l⋯⋯⋯。／／y2砖、例1若口=丁In2，6=丁In3，c=了In5的位置失真导致一种直观上的错觉．事实上，若令：g(茹)=坐，晴寰垄1)，《(x)执。本题的一种正确解法是(作差比较法)：口一b=÷(In8一一沙志强J所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐地结合起来．众所周知数形结合是中学数学的重要思想方法．许多数学问题，如若借助于数形结合，能够得以较快解决．但是种种原因是，如图形欠精确，刻意几何化，思路不简约，考虑不全面等，在利用数形结合解决问题的过程中，也容易出现图形的蒙蔽和误导，从而导致解题的失误．对此结合实例做一些分类概括，以供学习参考．一、真假难辨在一些数学问题中，存在着相应位置关系，在解决问题时，往往要借助图形的位置关系，囿于我们视觉的局限性，有时难免形成一种视觉假象，从而导致一种以假乱真的错误．则()(A)口<b<c(B)c<b<口(C)c<口<b(D)b<口<c误解：由题意，若令f(髫)=lnx，3剖析：上述误解，就本质上来看，与上例相似，也是由于图象数．当茗>e时，g’(茹)<0，g(x)为减函数5．1眦l、l似2、l似3由此可知：只有koc<kos成立，而．|}∞<ko^则是一种错觉．In9)<0j口<b．同理c<口．应选(C)．二、弄巧成拙所谓弄巧成拙，指的是面对一个数学问题，不是根据问题的实际情况，恰当地选择解题方法，而是一味地寻找问题的几何背景，依赖于图形的几何性质来解决问题，使得问题的解法迂回繁冗，出现了一种弄巧成拙的尴尬局面．对于所有满足l≤茹≤2的实数，不等式IJ恒成立。求实数口的取值范围．解：(数形结合)如图2，作出Y=l并一4I的图象，又Y=I似+2l的图象恒过定点B(O，2)．(1)当口=0时，明显不合题意；(2)当口>时，若过点占的直线的斜率大于或等于1，即口≥1，适合条件．(3)当口<0时，情况稍复杂，我们把Y=I犯+2I的图象与髫轴的交点叫“折点”，Ⅱ<0，折点在原点的右边，由题。、意折点M(m，0)必在原点与点A(1，图20)之间，如图2，设／_BMO=a，￡CMA=卢，因为a=JB，OA=≤一5，综上所述，口的取值范围是(一*，一5]u[1，+*)．上述解法借助问题的几何意义，思路巧妙，不易把握，且需分类讨论，而且还涉及到几何与三角知识，过程很是繁琐．实际上，解决本题，不必刻意绕弯，只要顺着题意，把问题作等价转换即可得到一种简便解法．另解：因为l≤髫≤2，所以I甜+2j“+2≤茹一4或似+2≥4一聋即：(a一1)茹+6≤0或(a+1)石一2≥0．问题等价于：对于l≤茗≤2，(口一1)石+6≤0或(a+1)善一2≥0恒成立．由于1≤茗≤2，所以Y=(a一1)石+6与，，=(a值范围是(一*，一5]u[1，+*)．三、以次充好从不同的视角看待一个数学问题，有时可以赋予不同的图形意义．在此种情形下，对不同的图形意义应甄别良莠，选择其中较为简练的图形意义．否则，就可能出现不分青红皂白，以次充好的情况．已知关于鼻的方程I菇I=似+1有一个负根而且没有正根，求a的取值范围．解析：设y=f。(聋)=及，∞∞<@如图1例2例3，025a．x+2I≥z一4C^f14I≥1名一4I．1‘v=(Ⅸ+1’l·Di’yIy二日l'y。V|xr，、．
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≮去借测北而‰>l一古彘>1一再b=f(b+c)，篡熟由一道北大保送生试题谈起则詈<糍)．两等等玎=，一高鬲>-一南=点．<6+c，概击<南+贵．i±!，!±!±!!<i±!±堡：故忐<出+南故南<南+击而a，r‰，r乞结构上都符合函数，(髫)=i_笔·所以，(6)+厂(c)>f(b+c)>，(口)，即忐<南+等等b4-告4-b堂c=％1％-I-b器1半=南1b+惫1．因为厂(6)+，(c)=1一(南+而1—1)=l一÷．如果同学们有仔细阅读教材的好习惯，你会发现在新课解法4：利用柯西不等式变式(若口；∈R，6f>o'则蚤昔(作差法’r‰+r乞一r乞=因为／(茗)=r笔=1一r