广义严格对角占优矩阵的充分条件.pdf

2009年12月高等学校计算数学学报第31卷第4期

广义严格对角占优矩阵的充分条件木

丁碧文刘建州
(湘潭大学数学与计算科学学院，湘潭411105)

SUFFICIENTCoNDITIoNSoFGENERALIZED

STRICTLyDIAGoNALLYD0MINANTMATRIX

DingBiwenLiuJianzhou
(SchoolofMathematicsandComputationalScience，XiangtanUniversity
Xiangtan411105)

AbstractInthispaper，wepresentamethodoflookingforpositivediagonal

matrixfactors，byusingofit，wecaneasilyobtainsomenewandpracticalcriteria

forgerneralizedstrictlydiagonallydominantmatrix，andprovethemsimply．At

thesametime，aniterativecriterionforgeneralizedstrictlydiagonallydominant

matrixiSobtainedbythesecriteria．

Keywordsstrictlydiagonallydominantmatrix，generalizedstrictlydiagonally

dominantmatrix，irreducibility，nonzeroelementschain．
AMS(2000)subjectclassifications15A48
中图法分类号O151．21

1引言

国家自然科学基金资助项目(10671164)，湖南省教育厅面上资助项目(05C099)
和湖南省重点学科建设资助项目．
收稿日期：2007—02—14．
2009年12月高等学校计算数学学报311

广义严格对角占优矩阵是一类在数值代数、数学物理和控制论等领域有着广泛应用
的特殊矩阵，例如：线性方程组Ax=b，当系数矩阵为广义严格对角占优矩阵时，许多
经典的迭代算法均是收敛的，同时对目前提出的一些修正算法也是收敛的．因此，寻找广
义严格对角占优矩阵简单实用的判定条件非常有意义．本文在文⋯，[2]．[3】的基础上，利
用寻找正对角矩阵因子的方法，给出了几个新的实用的判定条件，并给出了一种迭代判别
法，最后用数值例子说明它们的实用性．
设A=(0。)∈C，记C为n阶复矩阵集合Ai(A)=>l，i．J∈N=
了≠
{1，2，⋯．n}．如果la}>Ai()，Vi∈N，则称A为严格对角占优矩阵，如果存在正对角
阵D，使AD为严格对角占优矩阵，则称为广义严格对角占优矩阵．记

N1={z∈：0<laii1SAi(A)}，N2{z∈N：ta．I>A。【A)’，

Il+1∈Ⅳ1．
∈
Ⅳ’=(∈N1：0<10IA’(4)}．州¨={∈N1：A’()<fnfAi())．
显然，N1，N2是对集合Ⅳ的一个划分，即Ⅳ1UⅣ2=Ⅳ，Ⅳ1nN2=0．Ⅳf¨，’是对
集合Ⅳ的一个划分，即ⅣfUⅣ』)=Ⅳ，』VfnⅣ』)=0．
当N1=D时，显然是广义严格对角占优矩阵；当N2=时，由文『41知不是广
义严格对角占优矩阵．故本文假设N1≠0且Ⅳ2≠D．另外，当Ⅳ(Ⅳ』或N2)为单点
集时，约定∑la．1=0(∑l：0或∑la诂l=0)，Vi∈Ⅳf(∈Ⅳ』
tEN}，t~itE．t#i∈Ⅳ2，≠
或i∈Ⅳ2)．记i(A)=∑t{崩(A)=∑tl，i∈Ⅳ．在不混淆的情况下，简

记A=A(A)，A’=A’()，=Q。()，=(A)．

文【3]定理3给出了如下结果：设=(aij)∈C”，若

tEN}t#i·V∈’，(1)
>『。+t蒹∈Ⅳ。，)+t∈．v2tai~IAt。
，

laiiI>∑+∑，Vi∈Ⅳ』，(2)
tEN2(t≠{tEN。

．

则是广义严格对角占优矩阵，其中

A)=∑+lastf·∈Ⅳ1，M=u叭，
tCN1，t≠ztCⅣ2～。
Ⅳ}。’：{∈Ⅳ1：0<l0{IA。’()}，。)={∈J7v1：]aii}>A。())．

引理111]设=(n)∈C，≠．若存在，使U=Ⅳ，且
n=时，有

(1aii]一i)({。l一岛)>。J，Vi∈1，J∈，(3)
312·．丁碧文等：广义严格对角占优矩阵的充分条件第4期

则A是广义严格对角占优矩阵．
引理2【1设A=(o)∈C，A不可约，Ⅳ2≠．如果存在1，，使1U=N，
且Ⅳ1nN2=0时，有

(10瓠l—Qt)(IjI一岛)ij，Vi∈Ⅳ1，J∈Ⅳ2，(4)

且上式至少有一严格不等式成立，则A是广义严格对角