尺规作图由来及局限.ppt

古希腊三大数学难题问题提出者：雅典巧辩学派的数学研究倍立方三等分角化圆为方尺规作图的由来原因之2、欧几里得（作图）公设
公设1、由任意一点到另外任意一点可以画直线。
公设2、直线可以任意延长。
公设3、以任意点为圆心及任意的距离可以画圆。
从公设中看出作图工具只限于尺规。原因之3、毕达哥拉斯学派认为圆是最完美的平面图形，圆和直线是几何学最基本的研究对象，因此规定只使用这两种工具.
已知：∠AOB尺规作图的局限性（5）已知线段a,b，可做a+b,a-b,ab,a/b.接着ra也可做，这里r是正有理数.这样做：设r=p/q,p,q都是自然数，因此ra=pa/q.先做a的p倍，再做pa/q，这样ra就做出来了.
如下图：
已知线段a可作.
如右图，OA=a，以OB为直径作圆.过A作
OB的垂直线交圆周于C.OAC与OBC有一个公共角∠COB，由此可得∠OCA=∠ABC.这样一来，我们有，三角形OCA∽三角形ABC.
设AC=x我们有从给定的数1，a，b，c....出发以加减乘除和开平方，开4次方，开8次方....得到的所有量构成了有理数域Q或Q的某扩域，这个扩域由Q经有限次添加开平方数得到。
用代数数语言表述：尺规可作的数仅限于一次代数数、2次代数数、4次代数数.....次代数数。尺规作图局限性综合以上讨论可知如果某数（线段）可由已知的数（线段）经有限次的加减乘除及开平方后得出，则可用尺规做出来，否则，无法做出。用“域”的概念表述，即：尺规可以做出由已知数构成的域及此域的2次、4次、8次.....扩张域中的数。