（江苏专用）高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算教师用书 文 苏教版-苏教版高三全册数学试题.doc

3.1导数的概念及运算

1.导数与导函数的概念
(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(derivative)，记作f′(x0).
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′.
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0).
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α为常数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)[eq\f(fx,gx)]′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x)(g(x)≠0).
【知识拓展】
1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.
2.[eq\f(1,fx)]′＝－eq\f(f′x,f2x)(f(x)≠0).
3.[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x).
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.(×)
(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.(×)
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(√)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(×)
(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx.(×)

1.(教材改编)若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝.
答案2e
解析f′(x)＝ex＋x·ex，∴f′(1)＝2e.
2.(教材改编)①(cosx)′＝sinx；②若y＝eq\f(1,x2)，则y′＝－eq\f(1,x)；③(－eq\f(1,\r(x)))′＝eq\f(1,2x\r(x)).其中正确的个数是.
答案1
解析因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误；
(eq\f(1,x2))′＝(x－2)′＝－2x－3，所以②错误；
(－eq\f(1,\r(x)))′＝(－x－eq\f(1,2))′＝＝eq\f(1,2x\r(x))，所以③正确.
3.(教材改编)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为.
答案5x＋y＋2＝0
解析因为y′|x＝0＝－5e0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.
4.(教材改编)若过曲线y＝eq\f(1,x)上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为.
答案(eq\f(1,2)，2)或(－eq\f(1,2)，－2)
解析∵y′＝(x－1)′＝－eq\f(1,x2)＝－4，
∴x2＝eq\f(1,4)，x＝±eq\f(1,2).
∴切点坐标为(eq\f(1,2)，2)或(－eq\f(1,2)，－2).
5.(教材改编)函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有条.
答案2
解析∵y′＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3xeq\o\al(2,0)＝1，得x0＝±eq\f(\r(3),3)，即在点(eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),9))和点(－eq\f(\r(3),3)，－eq\f(\r(3),9))处有斜率为1的切线.

题型一导数的计算
例1求下列函数的导数.
(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋eq\f(1,x)；(3)y