（江苏专用）高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第2讲 空间点、线、面的位置关系练习 文 苏教版-苏教版高三全册数学试题.doc

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第2讲空间点、线、面的位置关系

1．(2019·揭阳模拟改编)设平面α，β，直线a，b，a⊂α，b⊂α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的________条件．
[解析]由平面与平面平行的判定定理可知，若直线a，b是平面α内两条相交直线，且a∥β，b∥β，则α∥β；当α∥β，若a⊂α，b⊂α，则a∥β，b∥β，因此“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．
[答案]必要不充分
2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A、E、C的平面的位置关系是________．
[解析]连结AC、BD相交于一点O，连结OE、AE、EC，
因为四边形ABCD为正方形，
所以DO＝BO．
而DE＝D1E，所以EO为△DD1B的中位线，
所以EO∥D1B，所以BD1∥平面AEC．
[答案]BD1∥平面AEC
3．(2019·南京模拟)四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD且PA＝4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为________．
[解析]因为PA⊥底面ABCD，所以PC在底面ABCD上的射影为AC，∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\r(2)．
[答案]eq\r(2)
4．(2019·南京、盐城模拟)已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：
①若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；
②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．
其中是真命题的是________．(填写所有真命题的序号)
[解析]①错误，还有可能α，β相交；②错误，直线m，n可能平行、相交或异面；③④正确．
[答案]③④
5．(2019·镇江期末)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD，则在三棱锥A­BCD中，下列命题正确的是________．(填序号)

①平面ABD⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面BDC；
③平面ABC⊥平面BDC；④平面ADC⊥平面ABC．
[解析]因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，
又AD⊥AB，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，
又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC．
[答案]④
6．(2019·无锡期末)已知两条直线m、n，两个平面α、β．给出下面四个命题：
①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；
③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．
其中正确命题的序号是________．
[解析]两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故①正确；两平面平行，分别在这两平面内的两直线可能平行，也可能异面，故②错；m∥n，m∥α时，n∥α或n⊂α，故③错；由α∥β，m⊥α得m⊥β，由m⊥β，n∥m得n⊥β，故④正确．
[答案]①④
7．(2019·苏州调研)正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ的长为________．

[解析]如图所示，在线段DD1上靠近点D处取一点T，使得DT＝eq\f(1,3)，因为N是线段DD1上靠近D1的三等分点，故D1N＝eq\f(2,3)，故NT＝2－eq\f(1,3)－eq\f(2,3)＝1，因为M为CC1的中点，故CM＝1，连接TC，由NT∥CM，且CM＝NT＝1，知四边形CMNT为平行四边形，故CT∥MN，同理在AA1上靠近A处取一点Q′，使得AQ′＝eq\f(1,3)，连接BQ′，TQ′，则有BQ′∥CT∥MN，故BQ′与MN共面，即Q′与Q重合，故AQ＝eq\f(1,3)．
[答案]eq\f(1,3)
8．如图，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于点E，AF⊥DC交DC于点F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D­AEF体积的最大值为________．

[解析]因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF．又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB．又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥D­AEF的高．因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高，所以AE＝eq