（江苏专用）高考数学 专题8 立体几何与空间向量 63 立体几何的综合应用 理-人教版高三全册数学试题.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学专题8立体几何与空间向量63立体几何的综合应用理
训练目标对平行、垂直的证明及空间角的求解强化训练，提高综合分析论证能力，培养较强的空间想象能力.训练题型(1)线、面平行与垂直的证明；(2)平行、垂直关系的应用；(3)探索性问题；(4)求空间角.解题策略(1)证明平行问题都离不开“线线平行”，找准“线”是关键；(2)证明垂直问题关键是找“线线垂直”，利用已知条件及所给图形找到要证明的线是解题突破口；(3)空间角问题一般可考虑向量法.1．(2015·南京二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD＝CD＝eq\f(1,2)AB，AB∥CD，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD.

(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值．
2．(2015·潍坊模拟)

如图，边长为eq\r(2)的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，DC＝BC＝eq\f(1,2)AB＝1.点M在线段EC上．
(1)证明：平面BDM⊥平面ADEF；
(2)判断点M的位置，使得三棱锥B－CDM的体积为eq\f(\r(2),18).
3．(2015·青岛检测)

如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝AA1＝3，BC＝1，E1为A1B1的中点．
(1)证明：B1D∥平面AD1E1；
(2)若AC⊥BD，求平面ACD1和平面CDD1C1所成角(锐角)的余弦值．
4.

在圆柱OO1中，ABCD是其轴截面，EF⊥CD于O1(如图所示)，AB＝2，BC＝eq\r(2).
(1)设平面BEF与圆O所在平面的交线为l，平面ABE与圆O1所在平面的交线为m，证明：l⊥m；
(2)求二面角A－BE－F的余弦值．
5．已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，D，E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使平面ADE⊥平面DEBC，H，F分别是边AD和BE的中点，平面BCH与AE，AF分别交于I，G两点．

(1)求证：IH∥BC；
(2)求二面角A－GI－C的余弦值；
(3)求AG的长．

答案解析

1．(1)证明连结AC.不妨设AD＝1，
因为AD＝CD＝eq\f(1,2)AB，所以CD＝1，AB＝2.
因为∠ADC＝90°，所以AC＝eq\r(2)，∠CAB＝45°.
在△ABC中，由余弦定理得BC＝eq\r(2)，

所以AC2＋BC2＝AB2.
所以BC⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥PC.
又PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PC∩AC＝C，
所以BC⊥平面PAC.
(2)解

如图，因为AB∥CD，
CD⊂平面CDMN，AB⊄平面CDMN，
所以AB∥平面CDMN.
因为AB⊂平面PAB，
平面PAB∩平面CDMN＝MN，
所以AB∥MN.
在△PAB中，因为M为PA的中点，
所以N为PB的中点，
即PN∶PB的值为eq\f(1,2).
2．(1)证明∵DC＝BC＝1，DC⊥BC，∴BD＝eq\r(2)，
又AD＝eq\r(2)，AB＝2，∴AD2＋BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD.
又平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，
平面ADEF∩平面ABCD＝AD，ED⊂平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD，
∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥ED，
又AD∩DE＝D，∴BD⊥平面ADEF，
又BD⊂平面BDM，
∴平面BDM⊥平面ADEF.
(2)解

如图，点M在平面DMC内，
过M作MN⊥DC，垂足为N，
则MN∥ED，
又ED⊥平面ABCD，
∴MN⊥平面ABCD.
又V三棱锥B－CDM＝V三棱锥M－BCD
＝eq\f(1,3)·MN·S△BDC＝eq\f(\r(2),18)，
∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×MN＝eq\f(\r(2),18)，∴MN＝eq\f(\r(2),3)，
又eq\f(MN,ED)＝eq\f(CM,CE)＝eq\f(\f(\r(2),3),\r(2))＝eq\f(1,3)，
∴CM＝eq\f(1,3)CE.
∴点M在线段CE的三等分点且靠近C处．
3．(1)证明

如图，连结A1D交AD1于点G，连结E1G，
因为ABCD－A1B1C1D1为四棱柱，
所以四边形ADD1A1为平行四边形，
所以G为A1D的中点．
又E1为A1B1的中点，
所以E1G为△A