（江苏专用）高考数学 专题8 立体几何与空间向量 61 空间角与空间距离的求解 理-人教版高三全册数学试题.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学专题8立体几何与空间向量61空间角与空间距离的求解理
训练目标(1)会求线面角、二面角；(2)会解决简单的距离问题.训练题型(1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距离.解题策略利用定义、性质去“找”所求角，通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用特殊三角形求解.1.

(2015·上海闵行区三模)如图，在底面是边长为a的正方形的四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且PA＝a，则直线PB与平面PCD所成的角的余弦值为________．
2．(2015·邯郸上学期教学质量检测)在正四棱锥P－ABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成的角为________．
3.

如图所示，在三棱锥S—ABC中，△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，SA＝3a，且SA⊥平面ABC，则点A到平面SBC的距离为________．
4．(2015·丽水二模)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为平面ABB1A1的中心，则MC1与平面BB1C1C所成角的正切值为________．

5．如图所示，在三棱锥S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝eq\f(\r(3),2)，则二面角S－BC－A的大小为________．

6.

如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下命题：
①异面直线C1P与CB1所成的角为定值；
②二面角P－BC1－D的大小为定值；
③三棱锥D－BPC1的体积为定值；
④异面直线A1P与BC1间的距离为定值．
其中真命题的个数为________．
7．(2015·辽宁沈阳二中月考)

如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点O在AB上，且OB＝OC＝eq\f(2,3)AB，PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝eq\f(1,2)PO.
(1)求证：PB∥平面COD；
(2)求二面角O－CD－A的余弦值．
8．(2015·宁波二模)

如图，正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点．设P为线段FG上任意一点．
(1)求证：EP⊥AC；
(2)当P为线段FG的中点时，求直线BP与平面EFG所成角的余弦值．
9．(2015·安徽江南十校上学期期末大联考)

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PB与底面ABCD所成的角为45°，E为PB的中点，过A，E，D三点的平面记为α，PC与α的交点为Q.
(1)试确定Q的位置并证明；
(2)求四棱锥P－ABCD被平面α所分成上下两部分的体积之比；
(3)若PA＝2，截面AEQD的面积为3，求平面α与平面PCD所成的锐二面角的正切值．

答案解析

1.eq\f(\r(3),2)
解析设B到平面PCD的距离为h，直线PB与平面PCD所成的角为α，则由等体积法可得
eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)a·a·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a·a·a，∴h＝eq\f(\r(2),2)a.
又∵PB＝eq\r(2)a，∴sinα＝eq\f(1,2)，
又∵α∈(0，eq\f(π,2))，∴cosα＝eq\f(\r(3),2).
2．45°
解析

如图，连结AC，BD交于点O，连结OE，OP.
因为E为PC中点，所以OE∥PA，
所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．
因为四棱锥P－ABCD为正四棱锥，
所以PO⊥平面ABCD，
所以AO为PA在平面ABCD内的射影，
所以∠PAO即为PA与平面ABCD所成的角，
即∠PAO＝60°.
因为PA＝2，所以OA＝OB＝1，OE＝1.
所以在直角三角形EOB中，∠OEB＝45°，
即异面直线PA与BE所成的角为45°.
3.eq\f(3a,2)
解析

作AD⊥CB交CB的延长线于点D，连结SD，如图所示．
∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC.又BC⊥AD，SA∩AD＝A，SA⊂平面SAD，AD⊂平面SAD，∴BC⊥平面SAD，又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面ASD，且平面SBC∩平面ASD＝SD.在平面ASD内，过点A作AH⊥SD于点H，则AH⊥平面SBC，AH的长即为点A到平面SBC的距离．在Rt△SAD中，SA＝3a，AD＝AB·sin60°＝eq\r(3)a.由eq\f(AH,SA)＝eq\f(AD,SD)，得AH＝eq\f(SA·AD