【拿高分，选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习精选《必考问题8 平面向量线性运算及综合应用问题》（命题方向把握+命题角度分析） 新人教版.doc

必考问题8平面向量线性运算及综合应用问题

1．(2012·广东)若向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(4,7)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝()．
A．(－2，－4) B．(2,4)
C．(6,10) D．(－6，－10)
答案A[由于eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(4,7)，那么eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．]
2．(2012·四川)设a、b都是非零向量．下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是()．
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
答案C[对于A，注意到当a＝－b时，eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|)；对于B，注意到当a∥b时，eq\f(a,|a|)与eq\f(b,|b|)可能不相等；对于C，当a＝2b时，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)；对于D，当a∥b，且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|).综上所述，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是a＝2b.]
3．(2012·浙江)设a，b是两个非零向量，下列选项正确的是()．
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
答案C[对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，因此a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时，|a＋b|＝|a|－|b|不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，因此成立，而D显然不一定成立．]
4．(2012·新课标全国)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(10)，则|b|＝________.
解析依题意，可知|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4－4|a||b|·cos45°＋|b|2＝4－2eq\r(2)|b|＋|b|2＝10，即|b|2－2eq\r(2)|b|－6＝0，
∴|b|＝eq\f(2\r(2)＋\r(32),2)＝3eq\r(2)(负值舍去)．
答案3eq\r(2)

1．高考一般会以客观题的形式重点考查向量的线性运算及其应用，向量的垂直、平移、夹角和模的运算，向量的几何运算等．
2．平面向量作为工具在考查三角函数、平面解析几何等内容时常用到，属于中等偏难题．

1．要理解平面向量具有两个方面的特征：几何特征和代数特征，可以认为平面向量是联系几何图形和代数运算的纽带，因此复习时要抓住平面向量的核心特征．
2．由于平面向量在三角函数、平面解析几何中的工具作用，所以备考时要熟练掌握平面向量的基础知识.

必备知识
向量的概念
(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.
(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±eq\f(a,|a|).
(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．
(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．
(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．
向量的运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律．
(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a·b运算结果不仅与a，b的长度有关而且与a与b的夹角有关，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

两非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a∥b⇔a＝λb，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
a⊥b⇔a·b＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
可利用它处理几何中的两条直线平行、垂直问题，但二者不能混淆．
必备方法
1．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出现错误，向量eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))