【拿高分，选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习精选《必考问题18 统计及其与概率的交汇问题》（命题方向把握+命题角度分析） 新人教版.doc

必考问题18统计及其与概率的交汇问题

(2012·广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．

(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．
分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y1∶12∶13∶44∶5解(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.
(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．
(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.
由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×eq\f(1,2)＝20,30×eq\f(4,3)＝40,20×eq\f(5,4)＝25.
故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.

本部分主要考查随机抽样、样本估计总体、线性回归分析，独立性检验的简单应用，一般是选择题、填空题，试题难度中等或稍易．若以解答题出现，往往与概率、交汇考查．

在复习统计问题时，要紧紧抓住这些图表和方法，把图表的含义弄清楚，这样剩下的问题就是有关的计算和对统计思想的理解，在弄清楚统计问题的基础上，要与概率、期望、方差结合掌握.

必备知识
抽样方法
抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围．
用样本估计总体
(1)利用样本频率分布估计总体分布：
①频率分布表和频率分布直方图；②总体密度曲线；③茎叶图．
(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征：
①众数、中位数；
②样本平均数eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i；
③样本方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]＝eq\f(1,n)∑n,i＝1(xi－eq\x\to(x))2；
④样本标准差
s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])
＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2).
线性回归方程
方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a称为线性回归方程，其中b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)
a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)；(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))称为样本中心点．
独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：
2×2列联表
y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d构造一个随机变量K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，
P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828必备方法
用样本估计总体
(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.解决与频率分布直方图有关的问题时，应正确理解已知数据的含义，掌握图表中各个量的意义．
(2)当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布．
①总体期望的估计，计算样本平均值eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i；
②总体方差(标准差)的估计：方差＝eq