《三维设计》2012届高三数学 第4章 第3节 课时限时检测 新人教A版.doc

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第4章第3节
(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于()
A．1B．－1
C.eq\r(3) D.eq\f(\r(2),2)
解析：由|a·b|＝|a||b|知，a∥b.
所以sin2x＝2sin2x，
即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sinx＝cosx，
即x＝eq\f(π,4)，故tanx＝1.
答案：A
2．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是()
A．矩形 B．菱形
C．直角梯形 D．等腰梯形
解析：由＝知四边形ABCD为平行四边形，
又因为·＝0，即▱ABCD的两条对角线垂直，
所以四边形ABCD为菱形．
答案：B
3．(2010·湖南高考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于()
A．－16 B．－8
C．8 D．16
解析：法一：因为cosA＝eq\f(AC,AB)，
故·＝||||cosA＝||2＝16.
法二：在上的投影为||cosA＝||，
故·＝||||cosA＝||2＝16.
答案：D
4．在锐角△ABC中，＝a，＝b，S△ABC＝1，且|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，则a·b等于()
A．－2 B．2
C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)
解析：S△ABC＝eq\f(1,2)||||sinA＝eq\f(1,2)×2×eq\r(2)sinA＝1，
∴sinA＝eq\f(\r(2),2)，
∵A为锐角，∴A＝eq\f(π,4).
∴a·b＝·＝|a||b|cos(π－A)
＝2×eq\r(2)coseq\f(3π,4)＝－2.
答案：A
5．设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α＝()
A.eq\f(π,2) B．－eq\f(π,2)
C.eq\f(π,4) D．－eq\f(π,4)
解析：由|2a＋b|＝|a－2b|得3|a|2－3|b|2＋8a·b＝0，
而|a|＝|b|＝1，故a·b＝0，
∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，
即cos(α－β)＝0，由于0<α<β<π，
故－π<α－β<0，∴α－β＝－eq\f(π,2)，即β－α＝eq\f(π,2).
答案：A
6．若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且(＋)·＝0，则△ABC一定是()
A．等腰直角三角形 B．非等腰直角三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
解析：由题意可知，在△ABC中，BC边上的中线又是BC边上的高，因此△ABC是等腰三角形，而三个内角A，B，C成等差数列，故角B为60°，所以△ABC一定是等边三角形．
答案：C
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7．力F的大小为50N，与水平方向的夹角为30°(斜向上)，使物体沿水平方向运动了20m，则力F所做的功为________．
解析：设木块的位移为s，
则F·s＝|F|·|s|cos30°＝50×20×eq\f(\r(3),2)＝500eq\r(3)(J)．
答案：500eq\r(3)J
8．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．
解析：∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，
∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．∵(a＋b)⊥(b－c)，
∴(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3×(－2－y)＝0，∴y＝－4，
∴M(4，－4)，N(－4,4)．
故向量＝(－8,8)，||＝8eq\r(2).
答案：8eq\r(2)
9．给出以下四个命题：
①对任意两个向量a，b都有|a·b|＝|a||b|；
②若a，b是两个不共线的向量，且＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A、B、C共线⇔λ1λ2＝－1；
③若向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则a＋b与a－b的夹角为90°.
④若向量a、b满足|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝eq\r(13)，则a，b的夹角为60°.
以上命题中，错误命题的序号是________．
解析：①错，∵|a·b|＝|a||b|·|cosθ|≤|a||b|.
②错．∵A、B、C共线，∴＝k，
∴eq\b